Integrale da calcolare

[oiraD93]

Mi chiedevo , ma per ricavare senza le formule l'integrale indefinito di y=

[math](\frac{1}{sen^2x}[/math]

) , come dovrei procedere?

[ciampax]

Il metodo migliore è quello di considerare la seguente trasformazione:

[math]\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t=\tan\frac{x}{2}[/math]

Dal momento che

[math]dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt[/math]

ricavi

[math]\int\frac{1}{\sin^2 x}\ dx=\int\frac{(1+t^2)^2}{4t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\frac{1}{2}\int\frac{1+t^2}{t^2}\ dt=\\ \frac{1}{2}\int\left[\frac{1}{t^2}+1\right]\ dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{t}+t\right]=\frac{t^2-1}{2t}[/math]

Osserva che

[math]\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

e pertanto

[math]\int\frac{1}{\sin^2 x}\ dx=\frac{t^2-1}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}{2t}=\frac{-\cos x}{\sin x}=-\cot x[/math]

[oiraD93]

Capito.
Usare le formule parametriche , quindi , è l'unico modo per arrivarci?

[ciampax]

Diciamo che è quello più comodo, potresti farlo anche in altri modi...

[oiraD93]

Provando a integrarlo per parti non ci sono riuscito.. posso avere un indizio su come integrarlo senza le parametriche?

[ciampax]

Ecco:

[math]\int\frac{1}{\sin^2 x}\ dx=\int\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x}\ dx=\int\left(1+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin^2 x}\right)\ dx=\\
x+\cos x\cdot\left(-\frac{1}{\sin x}\right)+\int\frac{-\sin x}{\sin x}\ dx=x-\cot x-x=-\cot x[/math]

[oiraD93]

Arigatou