Integrale curvilineo su una curva regolare a tratti semplice
Ciao a tutti,
sto studiando un argomento di analisi II per un esame all'università. E negli appunti ho trovato un esercizio che mi chiede di calcolare:
$ int_{\varphi } \sqrt{x} ds $
dove $ \varphi $ è la curva il cui sostegno e le $ partial D $
$ D=\{ (x,y): 0\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq \sqrt{x} \} $
$\varphi $ è una curva regolare a tratti semplice.
Ci ho pensato e ripensato, ma non so come procedere. Mi potete aiutare
Grazie in anticipo.
sto studiando un argomento di analisi II per un esame all'università. E negli appunti ho trovato un esercizio che mi chiede di calcolare:
$ int_{\varphi } \sqrt{x} ds $
dove $ \varphi $ è la curva il cui sostegno e le $ partial D $
$ D=\{ (x,y): 0\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq \sqrt{x} \} $
$\varphi $ è una curva regolare a tratti semplice.
Ci ho pensato e ripensato, ma non so come procedere. Mi potete aiutare
Grazie in anticipo.
Risposte
Non è chiaro quale sia la curva su cui devi integrare.
Suppongo sia il bordo del dominio $D$. Max, hai provato a fare un disegno del dominio, per vedere da cosa è composto il bordo? Ti do una dritta: 2 segmenti e un arco di curva di parabola.
Sarò sincero. Non ci ho provato. Ma poi una volta che magari per miracolo mi riuscisse il grafico (non sono tanto pratico) cosa mi starebbe a indicare?? Gli estremi di integrazione??? >.<...
Lo sai come si calcola un integrale curvilineo?
E' l'argomento che sto studiando in questi giorni, e l'esercizio che ho postato qui è stato proposto come il secondo esercizio dalla mia professoressa.
Sì, va bene, ma io ti formulo di nuovo la domanda: sai come si calcola, il generale, un integrale curvilineo? Quali sono i "passi" da seguire?
Allora quello che so io è:
l'integrale curvilineo di f sulla curva $ varphi $ è il seguente numero reale
$ int_(a)^(b) f(varphi(t)) |varphi' (t)| dt $
dove $ varphi :[a,b] -> R^2 $
e $ |varphi' (t)| = sqrt(x'^2(t)+ y'^2(t) $
quindi se ho per esempio un esercizio del tipo
$ int_(varphi)^() sqrt(1-y^2) ds $
con $ varphi = (cost, sent) $ e $ t [0, pi] $ $ |varphi'| = 1 $
io prendo la formula sopra citata faccio le dovute sostituzioni e mi calcolo l'integrale
$ int_(0)^(pi) sqrt(1-sin^2t) dt $
da quello che ho capito l'integrale è l'area della parte del piano delimitata tra la funzione integranda e $varphi$.
più di questo non ti so dire.
l'integrale curvilineo di f sulla curva $ varphi $ è il seguente numero reale
$ int_(a)^(b) f(varphi(t)) |varphi' (t)| dt $
dove $ varphi :[a,b] -> R^2 $
e $ |varphi' (t)| = sqrt(x'^2(t)+ y'^2(t) $
quindi se ho per esempio un esercizio del tipo
$ int_(varphi)^() sqrt(1-y^2) ds $
con $ varphi = (cost, sent) $ e $ t [0, pi] $ $ |varphi'| = 1 $
io prendo la formula sopra citata faccio le dovute sostituzioni e mi calcolo l'integrale
$ int_(0)^(pi) sqrt(1-sin^2t) dt $
da quello che ho capito l'integrale è l'area della parte del piano delimitata tra la funzione integranda e $varphi$.
più di questo non ti so dire.
Veramente l'integrale curvilineo non è l'area delimitata dalla curva, ma se proprio vuoi vederla geometricamente, puoi pensare alla $f$ come una funzione disegnata sopra la curva data (e quindi fuori dal piano) e in qualche modo l'integrale curvilineo rappresenta la superficie laterale di questo oggetto. Comunque sì, la definizione è quella.
Bé, se hai disegnato il dominio, dovresti esserti reso conto che esso è costituito da tre curve, come dicevo all'inizio. Sai parametrizzarle?
Bé, se hai disegnato il dominio, dovresti esserti reso conto che esso è costituito da tre curve, come dicevo all'inizio. Sai parametrizzarle?
Non ho ancora disegnato il grafico,
capisco che uno è
$ y=sqrt(x) $
le altre due posso immaginare che siano x=1 e y=1???... (supposizione) se è così allora forse il grafico lo posso determinare.
poi per parametrizzare
dico che
x=t
y=f(t)
giusto?
capisco che uno è
$ y=sqrt(x) $
le altre due posso immaginare che siano x=1 e y=1???... (supposizione) se è così allora forse il grafico lo posso determinare.
poi per parametrizzare
dico che
x=t
y=f(t)
giusto?
Ma perchè, scusa: ti si dice che $o\le x\le 1$, per cui le due rette $x=0,\ x=1$ delimitano i valori di $x$. Analogamente la $y$ è delimitata da $y=0,\ y=\sqrt{x}$, per cui se prendi ciò che è incluso qui dentro...
Quindi credo che la mia parametrizzazione debba essere del tipo
$ { ( x=t ),( y=sqrt(t) ):} $
con t : [0, 1]
quindi l'integrale diventa
$ int_(0)^(1) sqrt(t) dt $
che facendo i passaggi dovrei trovarmi
$ int_(0)^(1) sqrt(t) dt = 2/3 $
$ { ( x=t ),( y=sqrt(t) ):} $
con t : [0, 1]
quindi l'integrale diventa
$ int_(0)^(1) sqrt(t) dt $
che facendo i passaggi dovrei trovarmi
$ int_(0)^(1) sqrt(t) dt = 2/3 $
No Max, le curve sono tre. Quello che hai scritto è l'arco di parabola, ma mancano i due integrali lungo le rette (te l'ho detto che sono 3 pezzi). Inoltre, di solito la curva si percorre in senso antiorario. Nel tuo caso la curva è data dalle unioni di queste tre:
$$\gamma_1(t)=(t,0),\ t\in[0,1]\\ \gamma_2(t)=(1,t),\ t\in[0,1]\\ \gamma_3(t)=(1-t,\sqrt{1-t}),\ t\in[0,1]$$
Il perché è presto detto: la prima rappresenta il segmento dell'asse x percorso da $(0,0)$ a $(1,0)$, la seconda il segmento della retta $x=1$ percorso da $(1,0)$ a $(1,1)$, il terzo l'acro di parabola percorso da $(1,1)$ (che si ottiene con $t=0$) a $(0,0)$ (che si ottiene con $t=1$).
I tre integrali sono
$$1)\ ds=|\gamma_1'(t)|\ dt=\sqrt{1+0}\ dt=dt\ \Rightarrow\ \int_0^1\sqrt{t}\ dt=\frac{2}{3}\\ 2)\ ds=|\gamma_2'(t)|=\sqrt{0+1}\ dt=dt\ \Rightarrow\ \int_0^1 \sqrt{1}\ dt=1\\ 3)\ ds=|\gamma_3'(t)|\ dt=\sqrt{(-1)^2+\left(\frac{-1}{2\sqrt{1-t}}\right)^2}\ dt=\frac{\sqrt{5-4t}}{2\sqrt{1-t}}\ dt\ \Rightarrow\\ \int_0^1\frac{\sqrt{5-4t}}{2\sqrt{1-t}}\cdot\sqrt{1-t}\ dt=\frac{1}{2}\int_0^1\sqrt{5-4t}\ dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{6}\cdot\sqrt{5-4t}\right]_0^1=-\frac{1}{12}(1-\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}-1}{12}$$
Il valore dell'integrale è la somma di questi tre.
$$\gamma_1(t)=(t,0),\ t\in[0,1]\\ \gamma_2(t)=(1,t),\ t\in[0,1]\\ \gamma_3(t)=(1-t,\sqrt{1-t}),\ t\in[0,1]$$
Il perché è presto detto: la prima rappresenta il segmento dell'asse x percorso da $(0,0)$ a $(1,0)$, la seconda il segmento della retta $x=1$ percorso da $(1,0)$ a $(1,1)$, il terzo l'acro di parabola percorso da $(1,1)$ (che si ottiene con $t=0$) a $(0,0)$ (che si ottiene con $t=1$).
I tre integrali sono
$$1)\ ds=|\gamma_1'(t)|\ dt=\sqrt{1+0}\ dt=dt\ \Rightarrow\ \int_0^1\sqrt{t}\ dt=\frac{2}{3}\\ 2)\ ds=|\gamma_2'(t)|=\sqrt{0+1}\ dt=dt\ \Rightarrow\ \int_0^1 \sqrt{1}\ dt=1\\ 3)\ ds=|\gamma_3'(t)|\ dt=\sqrt{(-1)^2+\left(\frac{-1}{2\sqrt{1-t}}\right)^2}\ dt=\frac{\sqrt{5-4t}}{2\sqrt{1-t}}\ dt\ \Rightarrow\\ \int_0^1\frac{\sqrt{5-4t}}{2\sqrt{1-t}}\cdot\sqrt{1-t}\ dt=\frac{1}{2}\int_0^1\sqrt{5-4t}\ dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{6}\cdot\sqrt{5-4t}\right]_0^1=-\frac{1}{12}(1-\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}-1}{12}$$
Il valore dell'integrale è la somma di questi tre.
Aahh ecco... Mi sento abbastanza ignorante sull'argomento. Ma ti prometto che studierò più a fondo, la cosa che mi ha fregato è il fatto che la curva è divisa in tratti semplici, ed è lì che vado in panico. Perché come cosa è abbastanza nuova per me, cioè che da un esercizio ne escono due - tre - quattro esercizi diversi di cui poi il risultato finale è la somma.
Ti ringrazio ancora, e scusami se magari ho fatto rivoltare i più grandi matematici nella tomba per ciò che ho detto XD
Spero di poter contare ancora sul tuo e/o vostro aiuto.
Magari un giorno dopo aver fatto l'esame mi ritroverò qui ad aiutare gli altri insieme a te ;P *sogno di una vita*
Ancora grazie e ciao.
Ti ringrazio ancora, e scusami se magari ho fatto rivoltare i più grandi matematici nella tomba per ciò che ho detto XD
Spero di poter contare ancora sul tuo e/o vostro aiuto.
Magari un giorno dopo aver fatto l'esame mi ritroverò qui ad aiutare gli altri insieme a te ;P *sogno di una vita*
Ancora grazie e ciao.
Ancora una domanda, so che il verso di percorrenza è sempre antiorario, per questo la terza curva va da 1 a 0, ma c'è una condizione particolare che devo guardare per vedere il verso di percorrenza???
A meno che non sia esplicitato diversamente, no.
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