Integrale curvilineo su linea chiusa

[Fab527]

Salve, in un problema di fisica I mi sono imbattuto in una risoluzione che utilizza la definizione di forza conservativa secondo cui $ oint vec(F) *dvec(s) = 0 $ per verificare che una data forza ( $ vec(F) = -beta hat(i) $ ) è effettivamente conservativa . Ora, non conoscendo ancora analisi 2 io non capisco perchè procede così:

$ oint vec(F) *dvec(s) = oint -beta hat(i) *(dxhat(i)+dyhat(j)+dzhat(k))=-ointbetadx=0 $

In pratica ha espresso $ dvec(s) $ come uno spostamento il più generico possibile, ha esplicato il prodotto scalare ma...l'ultimo passaggio? Qual'è la differenza nella risoluzione rispetto a un integrale "normale" (per cui sarebbe $ betax $)?

Scusate per la domanda banalissima ma per cui non riesco a trovare risposte soddisfacenti in rete...

[ciampax]

L'integrale "circuitato" (quello con il cerchietto) nell'ultimo passaggio vai inteso come la somma dei due integrali per $x$ che va da $a$ a $b$ e per $x$ che va da $b$ ad $a$, che assumono valore opposto e quindi hanno somma zero.
Devo dire che la notazione lascia un po' a desiderare... ma che vuoi fare, sono fisici!

[Fab527]

"ciampax":L'integrale "circuitato" (quello con il cerchietto) nell'ultimo passaggio vai inteso come la somma dei due integrali per $x$ che va da $a$ a $b$ e per $x$ che va da $b$ ad $a$, che assumono valore opposto e quindi hanno somma zero.
Devo dire che la notazione lascia un po' a desiderare... ma che vuoi fare, sono fisici!

Grazie mille!

Se possibile sapresti farmi invece un esempio (sempre con questa scrittura) di forza che invece non si conserva? Perchè sto avendo un po' di difficoltà a immaginarne un tipo che non venga "annullato" dallo svolgimento dell'integrale...

[stormy1]

$ oint_()vecAcdotdvecs<0 $ se $vecA$ è una qualsiasi forza di attrito