Integrale curvilineo semplice
devo calcolare l'integrale curvilineo della funzione $root(3)(x)$ esteso all'arco di asteroide di rappresentazione parametrica
$p(t)=(cos^3t,sen^3t)$ con $t$ appartenente a $[-\pi/2,\pi/2]$
allora eseguendo l'integrale arrivo al punto seguente :
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(cost)sqrt(9sen^2t*cos^2t)$ ...
quello che chiedo é
quando vado ad "eliminare" la radice quadrata... devo mettere lasciare la funzione che vi è al suo interno con il modulo ??
(chiedo questo perchè nell'intervallo delle $t$ assegnato il seno e coseno possono essere a volta positivi e avolte negativi) ...
vi chiedo come devo procedere quando vado a lasciare il modulo ...
cioè dopo diventerebbe così l'integrale : $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(cost)|(3sent*cost)|$ ?
in tal caso come dovrei procedere ??
devo dividere l'integrale in due parti??
grazie a chi mi aiuterà
$p(t)=(cos^3t,sen^3t)$ con $t$ appartenente a $[-\pi/2,\pi/2]$
allora eseguendo l'integrale arrivo al punto seguente :
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(cost)sqrt(9sen^2t*cos^2t)$ ...
quello che chiedo é
quando vado ad "eliminare" la radice quadrata... devo mettere lasciare la funzione che vi è al suo interno con il modulo ??
(chiedo questo perchè nell'intervallo delle $t$ assegnato il seno e coseno possono essere a volta positivi e avolte negativi) ...
vi chiedo come devo procedere quando vado a lasciare il modulo ...
cioè dopo diventerebbe così l'integrale : $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(cost)|(3sent*cost)|$ ?
in tal caso come dovrei procedere ??
devo dividere l'integrale in due parti??
grazie a chi mi aiuterà
Risposte
Toglimi prima un dubbio.
Come ti viene [tex]$p'(t)$[/tex] ?
Come ti viene [tex]$p'(t)$[/tex] ?
Steven $p'(t)$ mi viene :
$x'(t)= -3cos^2t*sent$
$y'(t)=3sen^2t*cost$
ho commesso qualche errore nei calcoli?
$x'(t)= -3cos^2t*sent$
$y'(t)=3sen^2t*cost$
ho commesso qualche errore nei calcoli?
Scusa, prima andavo di fretta e non mi convinceva troppo l'integrale, che invece è corretto. I conti sono giusti.
Nota che il coseno è sempre positivo in [tex]$]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$[/tex], quindi puoi portarlo fuori senza problemi.
Hai insomma
[tex]$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos^2 t |\sin t|dt$[/tex]
Devi distinguere i due casi: per valori che ti interessano inferiori a zero, hai [tex]$\sin t<0$[/tex], altrimenti [tex]$\sin t>0$[/tex]
Quindi hai insomma
[tex]$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos^2 t |\sin t|dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 3\cos^2 t (-\sin t)dt+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos^2 t (\sin t)dt$[/tex]
Ti tornano questi passaggi?
Quando integri per valori per cui il seno è negativo, allora il modulo lo sciogli di conseguenza.
Idem quando è positivo (lo levi e basta).
Se hai problemi, dimmelo.
Ciao.
Nota che il coseno è sempre positivo in [tex]$]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$[/tex], quindi puoi portarlo fuori senza problemi.
Hai insomma
[tex]$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos^2 t |\sin t|dt$[/tex]
Devi distinguere i due casi: per valori che ti interessano inferiori a zero, hai [tex]$\sin t<0$[/tex], altrimenti [tex]$\sin t>0$[/tex]
Quindi hai insomma
[tex]$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos^2 t |\sin t|dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} 3\cos^2 t (-\sin t)dt+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos^2 t (\sin t)dt$[/tex]
Ti tornano questi passaggi?
Quando integri per valori per cui il seno è negativo, allora il modulo lo sciogli di conseguenza.
Idem quando è positivo (lo levi e basta).
Se hai problemi, dimmelo.
Ciao.
ho capito come hai diviso... grazie mille steven 
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