Integrale curvilineo problema calcolo
ho il seguente integrale \(\displaystyle \int_\gamma\frac{1}{(1+z)(sinz)^2} \) con la curva \(\displaystyle \gamma \) definita da \(\displaystyle |z|=\frac{1}{2} \)
Procedo utilizzando il teorema dei residui, so che \(\displaystyle \int_\gamma\frac{1}{(1+z)(sinz)^2} = 2\pi iRes(f(z),0) \) in questo caso utilizzando la formula \(\displaystyle {R}{e}{s}{\left({f{;}}{z}_{{0}}\right)}=\frac{{1}}{{{\left({k}-{1}\right)}!}}\cdot\lim_{{{z}\to{z}_{{0}}}}\frac{{{\text{d}}^{{{k}-{1}}}}}{{\text{d}{{z}}^{{{k}-{1}}}}}{\left[{{\left({z}-{z}_{{0}}\right)}}^{{k}}\cdot{f{{\left({z}\right)}}}\right]} \),so che i punti singolari a cadere nella curva sono solo \(\displaystyle z_0=0 \) che è un polo di secondo ordine. Procedo quindi con il calcolo
\(\displaystyle Res(f(z);0)=lim_{z\to0}\frac{d}{dz}[(z)^2\frac{1}{(1+z)(sinz)^2}]\), qui ho qualche problemino di calcolo, procedendo con il calcolo della derivata dai miei calcoli ottengo \(\displaystyle f'(\frac{z^2}{(1+z)(sinz)^2})= \frac{z[(2(1+z)(sinz))-(z(sinz+2(1+z)(cosz)))]}{(1+z)^2(sinz)^3}\), se faccio il limite per z che tende a 0, il risultato non dovrebbe essere 0, non riesco a capire perchè il risultato esatto che mi viene dato è -1, ho commesso qualche errore nel calcolare la derivata? Oppure ho commesso un errore nell'applicare la formula?
Procedo utilizzando il teorema dei residui, so che \(\displaystyle \int_\gamma\frac{1}{(1+z)(sinz)^2} = 2\pi iRes(f(z),0) \) in questo caso utilizzando la formula \(\displaystyle {R}{e}{s}{\left({f{;}}{z}_{{0}}\right)}=\frac{{1}}{{{\left({k}-{1}\right)}!}}\cdot\lim_{{{z}\to{z}_{{0}}}}\frac{{{\text{d}}^{{{k}-{1}}}}}{{\text{d}{{z}}^{{{k}-{1}}}}}{\left[{{\left({z}-{z}_{{0}}\right)}}^{{k}}\cdot{f{{\left({z}\right)}}}\right]} \),so che i punti singolari a cadere nella curva sono solo \(\displaystyle z_0=0 \) che è un polo di secondo ordine. Procedo quindi con il calcolo
\(\displaystyle Res(f(z);0)=lim_{z\to0}\frac{d}{dz}[(z)^2\frac{1}{(1+z)(sinz)^2}]\), qui ho qualche problemino di calcolo, procedendo con il calcolo della derivata dai miei calcoli ottengo \(\displaystyle f'(\frac{z^2}{(1+z)(sinz)^2})= \frac{z[(2(1+z)(sinz))-(z(sinz+2(1+z)(cosz)))]}{(1+z)^2(sinz)^3}\), se faccio il limite per z che tende a 0, il risultato non dovrebbe essere 0, non riesco a capire perchè il risultato esatto che mi viene dato è -1, ho commesso qualche errore nel calcolare la derivata? Oppure ho commesso un errore nell'applicare la formula?
Risposte
Hai:
\[
f^\prime (z) = \frac{2z\ (1+z)\ \sin z - z^2\ [\sin z + (1+z)\ 2\ \cos z]}{(1+z)^2\ \sin^3 z} = \frac{2(1+z)\ z\ (\sin z -z\ \cos z) -z^2\ \sin z}{(1+z)^2\ \sin^3 z}
\]
ed il limite si risolve facile.
\[
f^\prime (z) = \frac{2z\ (1+z)\ \sin z - z^2\ [\sin z + (1+z)\ 2\ \cos z]}{(1+z)^2\ \sin^3 z} = \frac{2(1+z)\ z\ (\sin z -z\ \cos z) -z^2\ \sin z}{(1+z)^2\ \sin^3 z}
\]
ed il limite si risolve facile.
Non riesco proprio a capire perchè il limite si risolve facile, mi potresti scrivere i passaggi? a denominatore non rimane sempre la funzione sinz che è sempre uguale a 0?
qualche suggerimento?
avevo pensato di usare de l'hopital solamente che le funzioni da derivare mi sembravano troppo complesse e così volevo sapere se c'era una via più veloce
c'è qualcuno che mi spiega perchè il limite scritto da gugo si risolverebbe facilmente?
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