Integrale curvilineo perimetro di rettangolo
devo calcolare l'integrale curvilineo del campo vettoriale $ vec (F)(x,y) = -7xy^3 vec (i1) + yx^3 vec (i2) $
T è tutto il perimetro del rettangolo di vertici $ (0,0), (7,0), (7,1), (0,1) $ percorso in senso antiorario.
ma non so come iniziare! di solito T ha una forma parametrica...
T è tutto il perimetro del rettangolo di vertici $ (0,0), (7,0), (7,1), (0,1) $ percorso in senso antiorario.
ma non so come iniziare! di solito T ha una forma parametrica...
Risposte
infatti devi calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale F sulla poligonale che va da (0,0)a (7,0)a
(7,1)a (0,1) la parametrizzi dividendola in 4 segmenti:
$\gamma :
x=t
y=0 , t$in$ [0,7]$;
$\theta :
x=7
y=k , k$in$ [0,1]$;
$\phi :
x= m
y=1, m$in$ [7,0]$;
$\psi : x=0
y=w, w$in$[1,0]$;
e fai l'integrale curvilineo su ogni segmento...dici se ti serve aiuto
ad esempio
$\int_\gamma F(t)dt$=$\int_0^7[F(t)i Dx(t)+F(t)j Dy(t)dt$=0
$\int_\theta F(k)dk$=$\int_0^1[F(k) iDx(k)+F(k)jDy(k))dk$=$\int_0^1[(-7*7*k^3)*0+(k*7^3)*1] dk$=$7^3$
(7,1)a (0,1) la parametrizzi dividendola in 4 segmenti:
$\gamma :
x=t
y=0 , t$in$ [0,7]$;
$\theta :
x=7
y=k , k$in$ [0,1]$;
$\phi :
x= m
y=1, m$in$ [7,0]$;
$\psi : x=0
y=w, w$in$[1,0]$;
e fai l'integrale curvilineo su ogni segmento...dici se ti serve aiuto
ad esempio
$\int_\gamma F(t)dt$=$\int_0^7[F(t)i Dx(t)+F(t)j Dy(t)dt$=0
$\int_\theta F(k)dk$=$\int_0^1[F(k) iDx(k)+F(k)jDy(k))dk$=$\int_0^1[(-7*7*k^3)*0+(k*7^3)*1] dk$=$7^3$
scusami ma non ho capito come parametrizzi la poligonale... ??
consideri ogni segmento come una curva ...più chiaro di così...
ad esempio devi collegare i punti (0,0)-(7,0) quindi y=0 e $0<=x<=7$ , quindi x=t con t$in$[0,7]
ad esempio devi collegare i punti (0,0)-(7,0) quindi y=0 e $0<=x<=7$ , quindi x=t con t$in$[0,7]
ho capito. grazie!
provo...
provo...
scusa ma non dovresti usare la norma nell'integrale?
no scusa ho detto una cavolata
no devi parametrizzare il tuo vettore o forma differenziale come la vuoi chiamare e al posto del dx(il tuo i1) metti la derivata di x(t) e al posto di dy(il tuo i2) la derivata di y(t) così da avere un integrale in dt (di una variabile)
si grazie, ci sono riuscito!!!
ho un problema.
la poligonale costituita dai segmenti AB e BC con A=(-1,0), B=(0,1), C=(2,0) percorsa da A a C come la parametrizzo?
la poligonale costituita dai segmenti AB e BC con A=(-1,0), B=(0,1), C=(2,0) percorsa da A a C come la parametrizzo?
"dark.hero":
ho un problema.
la poligonale costituita dai segmenti AB e BC con A=(-1,0), B=(0,1), C=(2,0) percorsa da A a C come la parametrizzo?
bastareà porre $y = x + 1$ per $x in [-1,0]$ e $y = -x/2 + 1$ per $x in [0,2]$, o no ?
allora
$ (-1,0) (0,1) => y=t+1, x=t, t in [-1,0] $
$ (0,1) (2,0) => y=-m//2+1, x=m, m in [0,2] $
ma poi nell'integrale mi blocco...
$ F(x,y) $ contiene $ 2x log(y^2 +2) $ che mi fa pensare che x e y dovrebbero essere uguali dato che $ Dt^2 = 2t $
dove sbaglio?
$ (-1,0) (0,1) => y=t+1, x=t, t in [-1,0] $
$ (0,1) (2,0) => y=-m//2+1, x=m, m in [0,2] $
ma poi nell'integrale mi blocco...
$ F(x,y) $ contiene $ 2x log(y^2 +2) $ che mi fa pensare che x e y dovrebbero essere uguali dato che $ Dt^2 = 2t $
dove sbaglio?
"dark.hero":
allora
$ (-1,0) (0,1) => y=t+1, x=t, t in [-1,0] $
$ (0,1) (2,0) => y=-m//2+1, x=m, m in [0,2] $
ma poi nell'integrale mi blocco...
$ F(x,y) $ contiene $ 2x log(y^2 +2) $ che mi fa pensare che x e y dovrebbero essere uguali dato che $ Dt^2 = 2t $
dove sbaglio?
non c' ho capito niente, in qualunque caso, sostituisci una parametrizzazione alla volta in $F(x,y)$. Dalla prima ti viene: $F(x) = 2xlog(x^2 + 2x + 3)$, ne fai la derivata, la uguagli a zero, e trovi l' estremo.. poi fai lo stesso con la seconda parametrizzazione..
scusa dove sta la F?
credo che sia quella che ha scritto 2 messaggi prima..
è nel primo post
"dark.hero":
è nel primo post
e quel logaritmo da dove esce allora ?? puoi postare alcuni calcoli ?
perdonatemi non avevo capito la domanda....
l'esercizio nel il primo post l'ho risolto grazie al vostro aiuto (!)
poi mi si è presentato un altro esercizio con una parametrizzazione che non sapevo fare perchè ne x ne y rimanevano costanti tra i punti.
devo fare l'integrale curvilineo del campo F
$ F(x,y) = [2xlog(y^2+2)+(2xy^2)//(x^2+2)]i1 + [2ylog(x^2 +2) + (2yx^2)//(y^2+2)]i2 $
poligonale costituita dai segmenti AB e BC con A=(-1,0), B=(0,1), C=(2,0) percorsa da A a C.
è corretto se parametrizzo la poligonale cosi?
$ (-1,0) (0,1) => y=t+1, x=t, t in [-1,0] $
$ (0,1) (2,0) => y=-m//2+1, x=m, m in [0,2] $
l'esercizio nel il primo post l'ho risolto grazie al vostro aiuto (!)
poi mi si è presentato un altro esercizio con una parametrizzazione che non sapevo fare perchè ne x ne y rimanevano costanti tra i punti.
devo fare l'integrale curvilineo del campo F
$ F(x,y) = [2xlog(y^2+2)+(2xy^2)//(x^2+2)]i1 + [2ylog(x^2 +2) + (2yx^2)//(y^2+2)]i2 $
poligonale costituita dai segmenti AB e BC con A=(-1,0), B=(0,1), C=(2,0) percorsa da A a C.
è corretto se parametrizzo la poligonale cosi?
$ (-1,0) (0,1) => y=t+1, x=t, t in [-1,0] $
$ (0,1) (2,0) => y=-m//2+1, x=m, m in [0,2] $
si ok, adesso sostituisci una parametrizzazione alla volta coem ti ho scritto prima..
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