Integrale curvilineo nel campo complesso
$int_gamma(z/(sin^2z+sinz))dz$
dove $gamma$ è la frontiera del dominio $D=[0,7/4pi]x[-pi/2,pi/2]$
scopro che la funzione integranda è olomorfa in $C-{kpi, -pi/2+2kpi}$ che sono i valori che annullano il denominatore
questo tipo di integrale è uguale a $2pij$ moltiplicato i residui della funzione nei punti in cui la funzione non è olomorfa, sempre che questi siano interni a D.
in questo caso i punti interessati sono $0$ e $-pi/2$ che stanno sulla frontiera di D.
Bisogna considerare i residui in tali punti o si può concludere che l'integrale fa 0?
forse si è nelle ipotesi del teorema di Cauchy e quindi l'integrale fa 0 sicuramente...
Quello che vi chiedo però oltre all'esempio specifico è se bisogna considerare, in generale, anche i residui dei punti che appartengono alla frontiera del dominio o soltanto quelli interni.
Edit: $0$ è un punto di regolarità quindi $R_(f)(0)=0$
per quanto riguarda $-pi/2$ il calcolo del residuo è abbastanza complicato...questo mi fa pensare che bisogna concludere senza calcolare i residui...aspetto comunque chiarimenti
Grazie
dove $gamma$ è la frontiera del dominio $D=[0,7/4pi]x[-pi/2,pi/2]$
scopro che la funzione integranda è olomorfa in $C-{kpi, -pi/2+2kpi}$ che sono i valori che annullano il denominatore
questo tipo di integrale è uguale a $2pij$ moltiplicato i residui della funzione nei punti in cui la funzione non è olomorfa, sempre che questi siano interni a D.
in questo caso i punti interessati sono $0$ e $-pi/2$ che stanno sulla frontiera di D.
Bisogna considerare i residui in tali punti o si può concludere che l'integrale fa 0?
forse si è nelle ipotesi del teorema di Cauchy e quindi l'integrale fa 0 sicuramente...
Quello che vi chiedo però oltre all'esempio specifico è se bisogna considerare, in generale, anche i residui dei punti che appartengono alla frontiera del dominio o soltanto quelli interni.
Edit: $0$ è un punto di regolarità quindi $R_(f)(0)=0$
per quanto riguarda $-pi/2$ il calcolo del residuo è abbastanza complicato...questo mi fa pensare che bisogna concludere senza calcolare i residui...aspetto comunque chiarimenti
Grazie
Risposte
"p4ngm4n":
$int_gamma(z/(sin^2z+sinz))dz$
dove $gamma$ è la frontiera del dominio $D=[0,7/4pi]x[-pi/2,pi/2]$
scopro che la funzione integranda è olomorfa in $C-{kpi, -pi/2+2kpi}$ che sono i valori che annullano il denominatore
questo tipo di integrale è uguale a $2pij$ moltiplicato i residui della funzione nei punti in cui la funzione non è olomorfa, sempre che questi siano interni a D.
in questo caso i punti interessati sono $0$ e $-pi/2$ che stanno sulla frontiera di D.
Bisogna considerare i residui in tali punti o si può concludere che l'integrale fa 0?
forse si è nelle ipotesi del teorema di Cauchy e quindi l'integrale fa 0 sicuramente...
Quello che vi chiedo però oltre all'esempio specifico è se bisogna considerare, in generale, anche i residui dei punti che appartengono alla frontiera del dominio o soltanto quelli interni.
Edit: $0$ è un punto di regolarità quindi $R_(f)(0)=0$
per quanto riguarda $-pi/2$ il calcolo del residuo è abbastanza complicato...questo mi fa pensare che bisogna concludere senza calcolare i residui...aspetto comunque chiarimenti
Grazie
Guarda bene che i poli interni a $D$ sono $z_1=pi$ e $z_2=3/2 pi$.
Abbiamo:
$f(z)=z*1/(sin z)*1/(sin z +1)$
cosicchè $z_1$ annulla il denominatore del secondo fattore e $z_2$ annulla il denominatore del secondo fattore; però si ha:
$lim_(zrarr pi) (z-pi)/(sin z)=lim_(zeta rarr 0) (zeta)/(sin (zeta +pi))=lim_(zeta rarr0) (zeta)/(-sin zeta)=-1$
$lim_(zrarr 3/2pi) ((z-3/2pi)^2)/(sin z+1)=lim_(zeta rarr 0)((zeta)^2)/(1-cos zeta)=2$
onde $z_1$ è un polo d'ordine uno, mentre $z_2$ è un polo d'ordine due.
Il residuo in $z_1=pi$ si calcola facilmente:
$Res_(f)(pi)=lim_(zrarr z_1) (z-z_1)*f(z)=lim_(zrarr pi) z/(sin z+1)*(z-pi)/(sin z)=-pi$;
il residuo in $z_2$ si trova facendo un po' di calcoli in più con la solita formula con la derivata prima della funzione regolarizzata $g(z)=(z-z_2)*f(z)$:
$Res_(f)(3/2pi)=lim_(zrarr z_2)g'(z)=-2$.
Ti rimane da calcolare $2pi j*(Res_(f)(pi)+Res_(f)(3/2 pi))$, ma è facile.
non ho capito come hai calcolato il residuo in $3/2pi$ potresti aiutarmi ?
"p4ngm4n":
grazie, è vero...non me ne ero accorto!!!, ma per quanto riguarda quello che ho chiesto? se dovessi trovarmi nel caso in cui i poli appartengono alla frontiera?devo considerarli?
Non lo so se il Teorema dei Residui vale se le singolarità stanno sulla frontiera dell'aperto $D$, ma penso di no perchè in generale si cerca in tutti i modi di evitare questa situazione.
"p4ngm4n":
non ho capito come hai calcolato il residuo in $3/2pi$ potresti aiutarmi ?
Vale la seguente regola per il calcolo dei residui:
Siano $Omega subseteq CC$ un aperto, $z_0in Omega$ ed $f$ olomorfa in $Omega-{z_0}$.
Se $f$ ha in $z_0$ un polo d'ordine $kge1$, allora risulta:
$Res_(f)(z_0)=lim_(zrarr z_0) 1/((k-1)!)*(d^(k-1))/(dz^(k-1))((z-z_0)^k*f(z))$
Nel tuo caso devi trovare il $lim_(zrarr 3/2pi) d/(dz)((z*(z-3/2pi)^2)/(sin z*(sin z +1)))$.
ripeto xkè ho modificato il messaggio e potresti non aver letto. come hai fatto a calcolare il residuo in $3/2pi$? potresti aiutarmi?
"gugo82":
$Res_(f)(z_0)=lim_(zrarr z_0) 1/((k-1)!)*(d^(k-1))/(dz^(k-1))((z-z_0)^k*f(z))$
"gugo82":
Nel tuo caso devi trovare il $lim_(zrarr 3/2pi) d/(dz)((z*(z-3/2pi))/(sin z*(sin z +1)))$.
si conosco anche io questa formula ma bisogna considerare $(z-3/2pi)^2$ o sbaglio?
poi come fai a risolverlo con tanta facilità questo limite?
"p4ngm4n":
[quote="gugo82"]
$Res_(f)(z_0)=lim_(zrarr z_0) 1/((k-1)!)*(d^(k-1))/(dz^(k-1))((z-z_0)^k*f(z))$
"gugo82":
Nel tuo caso devi trovare il $lim_(zrarr 3/2pi) d/(dz)((z*(z-3/2pi))/(sin z*(sin z +1)))$.
si conosco anche io questa formula ma bisogna considerare $(z-3/2pi)^2$ o sbaglio?[/quote]
Sì, ho sbagliato io a scrivere, ora correggo!
"p4ngm4n":
poi come fai a risolverlo con tanta facilità questo limite?
Ti dico la verità: ho fatto con Mathematica!
Con funzioni del genere è piuttosto seccante fare i conti a mano e ho usato il computer.
Riga di comando: Residue[z/(Sin[z] (Sin[z]+1)),{z,3pi/2}]
il problema è che io devo farlo come esercizio...ho provato a farlo con derive e non riesce neanke ad elaborarlo...Forse ci sarà un modo per semplificare i calcoli o qualche trucco...spero che qualcuno vedendo il topic possa aiutarmi...
Cmq Grazie per il tuo aiuto gugo
Cmq Grazie per il tuo aiuto gugo
spero che qualcuno sappia darmi un aiuto riguardo quel limite...
intanto vorrei postare un altro esercizio:
$int_γ(z+1)^2/(e^(z+1)-1)dz$
dove $γ=Fr([-2,0]x[pi,3pi])$
noto che la funzione $f(z)=(z+1)^2/(e^(z+1)-1)$ è olomorfa in $C-{-1}$ che fa annullare il denominatore.
Chiedo se posso concludere già qui dicendo che l'integrale fa 0 dato che per applicare il teorema dei residui
i punti in cui la funzione non è olomorfa devono essere interni a D e -1 non mi sembra interno a D....
Aspettando un chiarimento faccio cmq questa considerazione:
ho notato che $z=-1$ è un punto di regolarità per $f(z)$, quindi il suo residuo sarà nullo.
In ogni caso quindi, anche se bisognasse considerare il residuo l'integrale farebbe 0, ma vorrei capire bene questa cosa per non trovarmi in difficoltà su altri esercizi del genere.
Grazie
intanto vorrei postare un altro esercizio:
$int_γ(z+1)^2/(e^(z+1)-1)dz$
dove $γ=Fr([-2,0]x[pi,3pi])$
noto che la funzione $f(z)=(z+1)^2/(e^(z+1)-1)$ è olomorfa in $C-{-1}$ che fa annullare il denominatore.
Chiedo se posso concludere già qui dicendo che l'integrale fa 0 dato che per applicare il teorema dei residui
i punti in cui la funzione non è olomorfa devono essere interni a D e -1 non mi sembra interno a D....
Aspettando un chiarimento faccio cmq questa considerazione:
ho notato che $z=-1$ è un punto di regolarità per $f(z)$, quindi il suo residuo sarà nullo.
In ogni caso quindi, anche se bisognasse considerare il residuo l'integrale farebbe 0, ma vorrei capire bene questa cosa per non trovarmi in difficoltà su altri esercizi del genere.
Grazie
"p4ngm4n":
spero che qualcuno sappia darmi un aiuto riguardo quel limite...
intanto vorrei postare un altro esercizio:
$int_γ(z+1)^2/(e^(z+1)-1)dz$
dove $γ=Fr([-2,0]x[pi,3pi])$
noto che la funzione $f(z)=(z+1)^2/(e^(z+1)-1)$ è olomorfa in $C-{-1}$ che fa annullare il denominatore.
Chiedo se posso concludere già qui dicendo che l'integrale fa 0 dato che per applicare il teorema dei residui
i punti in cui la funzione non è olomorfa devono essere interni a D e -1 non mi sembra interno a D....
Come fai a dire che $-1$ non è interno a $D$???
Prima di affrontare il problema analiticamente è sempre meglio disegnarsi la curva d'integrazione, così da saper individuare la posizione delle singolarità dell'integrando rispetto a questa.
"p4ngm4n":
Aspettando un chiarimento faccio cmq questa considerazione:
ho notato che $z=-1$ è un punto di regolarità per $f(z)$, quindi il suo residuo sarà nullo.
In ogni caso quindi, anche se bisognasse considerare il residuo l'integrale farebbe 0, ma[...]
Giusto, il residuo è nullo nel tuo caso.
"p4ngm4n":
vorrei capire bene questa cosa per non trovarmi in difficoltà su altri esercizi del genere.
Grazie
Se $z_0$ è una singolarità eliminabile per l'integrando in $int_(gamma) f(z) dz$ e se essa è interna al dominio limitato che ha $gamma$ come frontiera, allora il residuo dell'integrando in $z_0$ è nullo. Più chiaro di così...
cmq ho fatto il disegno e -1 non m sembra interno...
xke per -1 si intende il punto (-1,0) giusto?
D è un rettangolo...si sviluppa dall'ordinata $pi$ fino a $3pi$ o sbaglio?
xke per -1 si intende il punto (-1,0) giusto?
D è un rettangolo...si sviluppa dall'ordinata $pi$ fino a $3pi$ o sbaglio?
"p4ngm4n":
cmq ho fatto il disegno e -1 non m sembra interno...
... avevo letto $-pi$. Ti porgo le mie scuse p4ngm4n, è come dicevi tu, $-1$ non sta nell'interno di $D$.
figurati...Grazie
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