Integrale curvilineo lungo ellisse

[Barba2]

Ragazzi vorrei dei chiarimenti circa questo esercizio:

- Data la forma differenziale:

$ omega(x,y) = (2xy^3+1)dx + 3y^2x^2dy $

calcolarne l'integrale curvilineo lungo la parte dell'ellisse

$ x^2/4+y^2=1 $

situata nel I quadrante e percorsa in senso antiorario.

Grazie a tutti

[Antimius]

Inizia col parametrizzare l'ellisse.

[Barba2]

Ho pensato di risolvere così:

$ { ( x=2costheta ),(y=sin theta ):} $ con $ thetain[0, pi/2] $

Quindi sostituisco e ottengo:

$ int_(0)^(pi/2) (4costhetasin^3theta+1)*(-2sintheta)+12sin^2thetacos^3theta d theta $

E giunti a questo punto l'integrale è un pò complicato

[Antimius]

Intanto sfrutta la linearità e calcola questi integrali singolarmente:
$\int -8 \cos \theta \sin^4 \theta \quad d\theta$ è facile se consideri che il coseno è la derivata del seno.
$\int -2 \sin \theta \quad d\theta$ non c'è nemmeno bisogno di dirlo
$\int 12 \sin^2 \theta \cos ^3 \theta \quad d\theta$ dovrebbe diventare semplice se sostituisci $\cos^2 \theta = 1- \sin^2 \theta$

[Barba2]

Capito come si svolge.. E in modo molto più immediato!

La nostra forma differenziale $ omega $ è CHIUSA ed ESATTA!!! Quindi basta calcolare l'integrale definito su un cammino più semplice ma che abbia come punto di arrivo e destinazione quello dell'ellisse (2,0) e (0,1).
Quindi si parametrizza così:

$Gamma_1 { ( x=t ),( y=0 ):} $ con $t in[0,2]$

$ Gamma_2{ ( x=0 ),( y=t ):} $ con $t in[0,1]$

e quindi:

$ int_(0)^(2) 1 dt + int_(0)^(1) 0dt = -2 $

Et voilà..

[Antimius]

Hai ragione, non ci avevo pensato