Integrale curvilineo in C
Salve mi sto esercitando per l'esame di metodi matematici e mi sono imbattuto con questo esercizo che non riesco a risolvere.L'esercizio è il seguente:
$\oint (z+3)^3 sin\frac{1}{z-2} dz $
dove $\ gamma $ è la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $ r=3$
Potreste darmi una mano a capire come va risolto??
$\oint (z+3)^3 sin\frac{1}{z-2} dz $
dove $\ gamma $ è la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $ r=3$
Potreste darmi una mano a capire come va risolto??
Risposte
Senza dubbio con il teorema dei residui: trovi le singolarità \(z_k\) della funzione integranda all'interno della circonferenza data, e l'integrale vale semplicemente \(2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)\operatorname{Ind}(\gamma,z_k)\) dove \(\operatorname{Res}\) è il residuo nel punto e \(\operatorname{Ind}\) la funzione indice, o l'indice di avvolgimento.
ciao phaerrax ti ringrazio per la risposta.
L'unica singolarità della funzione integranda dovrebbe essere $z=2$ che è una singolarità di tipo essenziale, il problema sorge nel momento in cui vado a calcolare il residuo che non so come procedere.
L'unica singolarità della funzione integranda dovrebbe essere $z=2$ che è una singolarità di tipo essenziale, il problema sorge nel momento in cui vado a calcolare il residuo che non so come procedere.
In questi casi è inevitabile passare per la serie di Laurent.
Sapendo la serie del seno si potrebbe provare a sostituire \(z\) con \(\frac1{z-2}\) e trovare i primi termini (almeno ovviamente il residuo) ma non vorrei dire bestialità.
Sapendo la serie del seno si potrebbe provare a sostituire \(z\) con \(\frac1{z-2}\) e trovare i primi termini (almeno ovviamente il residuo) ma non vorrei dire bestialità.
Phaerrax ti ringrazio ancora. Allora ho sviluppato cosi $(z+3)^3$
$(z+3)^3=(z-2)^3+15(z-2)^2+75(z-2)+125$
Poi l'ho moltiplicato per lo sviluppo di laurent del seno e mi è venuto
$(z-2)^3+15(z-2)^2+75(z-2)+125(\frac{1}{z-2}-\frac{1}{6(z-2)^{3}}+....)$
da cui prendendo solo i termini $1/(z-2)$ mi viene che il residuo è uguale a
$R(f)=(-\frac{15}{6}+125)=\frac{245}{2}$
$(z+3)^3=(z-2)^3+15(z-2)^2+75(z-2)+125$
Poi l'ho moltiplicato per lo sviluppo di laurent del seno e mi è venuto
$(z-2)^3+15(z-2)^2+75(z-2)+125(\frac{1}{z-2}-\frac{1}{6(z-2)^{3}}+....)$
da cui prendendo solo i termini $1/(z-2)$ mi viene che il residuo è uguale a
$R(f)=(-\frac{15}{6}+125)=\frac{245}{2}$
Mi sembra proprio corretto, e torna anche a me il risultato. 
sei stato gentilissimo pharreax, scusa se ne approfitto della tua disponibilità volevo chiederti giusto un'altra cosa. Ho l'esercizio
$\oint \frac{1}{z-3}e^{\frac{1}{z-2}}sin\frac{1}{z-2}dz $
l'ho risolto in questo modo, puoi dirmi se il procedimento è giusto?
$\oint \frac{1}{z-3}e^{\frac{1}{z-2}}sin\frac{1}{z-2}dz $
l'ho risolto in questo modo, puoi dirmi se il procedimento è giusto?
Credo che sia meglio aprire un nuovo thread se vuoi chiedere un altro problema.
Comunque, la serie geometrica per \(\frac1{z-3}\) è ok, forse un po' meno lo è il prodotto delle serie: non ne sono certo, ma non penso che il prodotto di somme infinite sia semplicemente la serie dei prodotti dei coefficienti. Per andare sul sicuro, io userei il prodotto di Cauchy per trovare il risultato.
Prova a leggere qui (riguarda il cubo di una serie, ma il concetto è lo stesso): http://math.stackexchange.com/questions/772703/product-of-3-infinite-series
Comunque, la serie geometrica per \(\frac1{z-3}\) è ok, forse un po' meno lo è il prodotto delle serie: non ne sono certo, ma non penso che il prodotto di somme infinite sia semplicemente la serie dei prodotti dei coefficienti. Per andare sul sicuro, io userei il prodotto di Cauchy per trovare il risultato.
Prova a leggere qui (riguarda il cubo di una serie, ma il concetto è lo stesso): http://math.stackexchange.com/questions/772703/product-of-3-infinite-series
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