Integrale curvilineo impossibile
L'esercizio recita così :
Studiare la forma differenziale: $ω(x,y) = x sqrt((1+y^2)/(1+x^2))dx + ysqrt((1+x^2)/(1+y^2))dy$
Calcolare l’integrale curvilineo della forma lungo il segmento di estremi $A = (0,0)$ e $B = (1,2)$ orientato nel verso che va da A a B.
Ho controllato innanzitutto che la forma differenziale sia chiusa e non lo è in quanto le derivate miste $ da/dy$ e $db/dx$ non coincidono.
Parametrizzo il segmento $AB$ in questo modo : $\{( x(t) = t),(y(t)=2t):}$ $t \in [0,1]$
Applico la formula di risoluzione : $int_gamma omega = int_a^b a{x(t),y(t)}x'(t) + b{(x(t),y(t))y'(t)} dt = int_0^1 tsqrt((1+4t^2)/(1+t^2)) + 4tsqrt((1+t^2)/(1+4t^2)) dt$ che è manualmente lunghissimo.
Anche WolframAlpha per risolverlo usa una quantità industriale di sostituzioni e passaggi complicati. La cosa non cambia se "spezzo" l'integrale risolvendo membro a membro. L'unica cosa che potrei optare è un cambio di parametrizzazione ma non me ne viene in mente nessun'altra trattandosi di un segmento e credo che quella che ho fatto sia la più "ovvia".
Avete pareri?
Studiare la forma differenziale: $ω(x,y) = x sqrt((1+y^2)/(1+x^2))dx + ysqrt((1+x^2)/(1+y^2))dy$
Calcolare l’integrale curvilineo della forma lungo il segmento di estremi $A = (0,0)$ e $B = (1,2)$ orientato nel verso che va da A a B.
Ho controllato innanzitutto che la forma differenziale sia chiusa e non lo è in quanto le derivate miste $ da/dy$ e $db/dx$ non coincidono.
Parametrizzo il segmento $AB$ in questo modo : $\{( x(t) = t),(y(t)=2t):}$ $t \in [0,1]$
Applico la formula di risoluzione : $int_gamma omega = int_a^b a{x(t),y(t)}x'(t) + b{(x(t),y(t))y'(t)} dt = int_0^1 tsqrt((1+4t^2)/(1+t^2)) + 4tsqrt((1+t^2)/(1+4t^2)) dt$ che è manualmente lunghissimo.
Anche WolframAlpha per risolverlo usa una quantità industriale di sostituzioni e passaggi complicati. La cosa non cambia se "spezzo" l'integrale risolvendo membro a membro. L'unica cosa che potrei optare è un cambio di parametrizzazione ma non me ne viene in mente nessun'altra trattandosi di un segmento e credo che quella che ho fatto sia la più "ovvia".
Avete pareri?
Risposte
Le derivate miste non sono uguali? (\(a\) e \(b\) son simmetrici)
"seb":
Le derivate miste non sono uguali? (\(a\) e \(b\) son simmetrici)
Ebbene no.. puoi provare tu stesso
"Salivo44":Utilizzavo il tuo lessico; intendevo: \(\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial x}\)?
le derivate miste $ da/dy$ e $db/dx$ non coincidono.
Le derivate miste sono uguali. Rifai i calcoli.
Ma siete seri o cosa? Mi prendete in giro? Vi ho detto che le derivate miste sono DIVERSE
$ (\partiala)/(\partialy) = (xysqrt((1+y^2)/(1+x^2)))/(y^2+1)$
$(\partialb)/(\partialx) = (xysqrt((1+x^2)/(1+y^2)))/(x^2+1)$
$ (\partiala)/(\partialy) = (xysqrt((1+y^2)/(1+x^2)))/(y^2+1)$
$(\partialb)/(\partialx) = (xysqrt((1+x^2)/(1+y^2)))/(x^2+1)$
Dimostralo.
"Salivo44":
Ma siete seri o cosa? Mi prendete in giro? Vi ho detto che le derivate miste sono DIVERSE
$ (\partiala)/(\partialy) = (xysqrt((1+y^2)/(1+x^2)))/(y^2+1)$
$(\partialb)/(\partialx) = (xysqrt((1+x^2)/(1+y^2)))/(x^2+1)$
Sì, sono serio. No, non ti prendo in giro. Evita atteggiamenti da bimbo presuntuoso e impara a fare i calcoli.
$$\partial_y\left[x\sqrt{\frac{1+y^2}{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\partial_y(\sqrt{1+y^2})=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{2y}{2\sqrt{1+y^2}}=\frac{xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}$$
$$\partial_x\left[y\sqrt{\frac{1+x^2}{1+y^2}}\right]=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\cdot\partial_x(\sqrt{1+x^2})=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\cdot\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}$$
"otta96":
Dimostralo.
Ho fatto un bel "buco nell'acqua"..effettivamente sono uguali. A primo impatto ho visto che erano simili ma non mi ero accorto che erano perfettamente simmetriche. Chiedo umilmente scusa.
Comunque, dato che sono uguali, la $omega$ è esatta eposso utilizzare la formula : $ int_gamma omega = F(P_1) - F(P_0)$ dove $F$ è una primitiva di $omega$ giusto? Così mi risulterebbe molto più semplice calcolarlo
Scuse accettate. A questo punto procedi come hai detto. La funzione primitiva è abbastanza immediata da ricavare.
"ciampax":
Scuse accettate. A questo punto procedi come hai detto. La funzione primitiva è abbastanza immediata da ricavare.
Perfetto grazie ancora! Penso di poter concludere l'esercizio da solo ora. Quello che mi ha fregato è stato razionalizzare il tutto
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