Integrale curvilineo forma diff.
Non riesco a risolvere l'integrale curvilineo di questa forma:
$w= (x/(x^2 + y^2) + sinx) dx + (y/(x^2 + y^2) + e^y) dy$ esteso alla curva $\gamma (t) = (t,cost)$ con $t in [0,\pi/2]$ orientata nel verso delle t crescenti.
Andando a sostituire la parametrizzazione della curva all'interno della forma ottengo:
$\int_0^{\pi/2} [t/(t^2 + cos^2t) + sint] * 1 + [cost/(t^2 + cos^2t) + e^cost] * -sint dt$
Ci sono due integrali in tutto stò casino che non so risolvere.
$w= (x/(x^2 + y^2) + sinx) dx + (y/(x^2 + y^2) + e^y) dy$ esteso alla curva $\gamma (t) = (t,cost)$ con $t in [0,\pi/2]$ orientata nel verso delle t crescenti.
Andando a sostituire la parametrizzazione della curva all'interno della forma ottengo:
$\int_0^{\pi/2} [t/(t^2 + cos^2t) + sint] * 1 + [cost/(t^2 + cos^2t) + e^cost] * -sint dt$
Ci sono due integrali in tutto stò casino che non so risolvere.
Risposte
Hai provato a vedere se la forma è esatta?
Semplificherebbe molto le cose.
Ad esempio fossi in te considererei la quantità [tex]$\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)$[/tex]
Prova a farne le derivate parziali.
Ciao!
Semplificherebbe molto le cose.
Ad esempio fossi in te considererei la quantità [tex]$\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)$[/tex]
Prova a farne le derivate parziali.
Ciao!
Ma semplificherebbe le cose in che senso ?? Questa è una forma radiale...e la quantità che dici tu se non sbaglio è proprio la primitiva della forma.
Devo considerare la quantità per fare l'integr curvilineo ?? Illuminami !
Devo considerare la quantità per fare l'integr curvilineo ?? Illuminami !
Non ti ricordi che l'integrale curvilineo di una forma differenziale lineare esatta dipende solo dagli estremi d'integrazione? E che vale anche l'implicazione inversa? Parlo del I teorema d'integrabilità delle forme differenziali lineari!
"j18eos":
Non ti ricordi che l'integrale curvilineo di una forma differenziale lineare esatta dipende solo dagli estremi d'integrazione? E che vale anche l'implicazione inversa? Parlo del I teorema d'integrabilità delle forme differenziali lineari!
Quindi devo prendere la primitiva della funzione che mi hai illustrato e farne l'integrale semplice tra gli estremi da me indicati nel primo post. Giusto ?
Schema della risoluzione:
I) la forma differenziale lineare è chiusa?
II) è esatta?
III) calcolare la primitiva;
IV) se e solo la risposta alla domanda II fosse affermativa potresti eseguire il calcolo consigliatoti!
I) la forma differenziale lineare è chiusa?
II) è esatta?
III) calcolare la primitiva;
IV) se e solo la risposta alla domanda II fosse affermativa potresti eseguire il calcolo consigliatoti!
Queste cose le sapevo...però questa è una forma radiale. E mi sembra che non è nemmeno chiusa da calcoli precedenti fatti.
Io voglio calcolare quell'integrale curvilineo e non so come si fa dato che vengono cose assurde. Tu mi hai detto di considerare quella quantità da te postata...ma la devo usare per l'integrale ?
Io voglio calcolare quell'integrale curvilineo e non so come si fa dato che vengono cose assurde. Tu mi hai detto di considerare quella quantità da te postata...ma la devo usare per l'integrale ?
Cosa intendi che è radiale? che in realtà quelli non sono in x e y ma r e $theta$?
Inoltre aggiungo il suggerimento di una "quantità" è di Steven; che saluto cordialmente visto che l'ho citato, 
e non mia! 
e non mia!
Una forma differenziale radiale è una forma di questo tipo:
$w: x_1 * \varphi(||x||) dx_1 + ...........+ x_n * \varphi(||x||) dx_n$
dove $||x|| = sqrt(x_1^2 + x_2^2 + .......+ x_n^2)$ , con $\varphi : RR rarr RR$
L'esempio in $RR^2$ è proprio il mio ex e una sua primitiva è $f(x) = \psi(||x||)$ con $\psi(r)$ primitiva di $r\psi(r)$.
Prima domanda: Da dove esce questa $\psi(r)$ ??Perchè prenderlain considerazione in questo modo ??
Poi la dimostrazione prosegue con questo passo che non ho capito:
w è esatta (ma la dimostraz di ciò avviene dopo !!!) ed una sua primitiva è $f(x,y)= \psi(sqrt(x^2+y^2))$ dove $\psi(r)$ è una primitiva di $r\psi(r) = r * 1/r^2 = 1/r$ , cioè
$\psi(r) = logr rarr f(x,y) = log(sqrt(x^2+y^2)) = 1/2log(x^2+y^2)$
Poi soltanto adesso verifica che è esatta e dice:
Verifichiamo che $(delf)/(delx_1) = x_1* \varphi(||x||)$, etc fino al valore n-simo.
Quindi calcola $(delf)/(delx_1) = (del\psi(||x||))/(delx_1) = \psi' (||x||) * x_1/(sqrt(x^2+y^2)) = x_1 * \varphi(||x||)$
Quindi ho dimostrato che è esatta e che una sua primitiva è la quantità che mi ha indicato Steven.
Oltre al primo quesito, quel famoso integrale curvilineo che ha scaturito il tutto come si risolve ? Mettendo la primitiva al posto della funzione visto che il campo è conservativo (dipende solo dagli estremi come mi ha suggerito j18eos ?
$w: x_1 * \varphi(||x||) dx_1 + ...........+ x_n * \varphi(||x||) dx_n$
dove $||x|| = sqrt(x_1^2 + x_2^2 + .......+ x_n^2)$ , con $\varphi : RR rarr RR$
L'esempio in $RR^2$ è proprio il mio ex e una sua primitiva è $f(x) = \psi(||x||)$ con $\psi(r)$ primitiva di $r\psi(r)$.
Prima domanda: Da dove esce questa $\psi(r)$ ??Perchè prenderlain considerazione in questo modo ??
Poi la dimostrazione prosegue con questo passo che non ho capito:
w è esatta (ma la dimostraz di ciò avviene dopo !!!) ed una sua primitiva è $f(x,y)= \psi(sqrt(x^2+y^2))$ dove $\psi(r)$ è una primitiva di $r\psi(r) = r * 1/r^2 = 1/r$ , cioè
$\psi(r) = logr rarr f(x,y) = log(sqrt(x^2+y^2)) = 1/2log(x^2+y^2)$
Poi soltanto adesso verifica che è esatta e dice:
Verifichiamo che $(delf)/(delx_1) = x_1* \varphi(||x||)$, etc fino al valore n-simo.
Quindi calcola $(delf)/(delx_1) = (del\psi(||x||))/(delx_1) = \psi' (||x||) * x_1/(sqrt(x^2+y^2)) = x_1 * \varphi(||x||)$
Quindi ho dimostrato che è esatta e che una sua primitiva è la quantità che mi ha indicato Steven.
Oltre al primo quesito, quel famoso integrale curvilineo che ha scaturito il tutto come si risolve ? Mettendo la primitiva al posto della funzione visto che il campo è conservativo (dipende solo dagli estremi come mi ha suggerito j18eos ?
Non conosco, in conseguenza, le forme differenziali lineari radiali! Se la forma fosse esatta, come tu affermi di aver provato, varrebbe quanto ti ho scritto!
La forma:
[tex]$\omega (x,y;\text{d} x,\text{d} y):= \left( \frac{x}{x^2+y^2} +\sin x\right)\ \text{d} x+ \left( \frac{y}{x^2+y^2} +e^y\right)\ \text{d} y$[/tex]
evidentemente non è radiale, ma è esatta in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ (0,0)\}$[/tex] e con pochi conti (ma anche "ad occhio", se sei allenato) si trova facilmente una primitiva.
Quindi consiglio a capirob di fare i conti come suggerito da Steven e j18eos...
[tex]$\omega (x,y;\text{d} x,\text{d} y):= \left( \frac{x}{x^2+y^2} +\sin x\right)\ \text{d} x+ \left( \frac{y}{x^2+y^2} +e^y\right)\ \text{d} y$[/tex]
evidentemente non è radiale, ma è esatta in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ (0,0)\}$[/tex] e con pochi conti (ma anche "ad occhio", se sei allenato) si trova facilmente una primitiva.
Quindi consiglio a capirob di fare i conti come suggerito da Steven e j18eos...
"gugo82":
La forma:
[tex]$\omega (x,y;\text{d} x,\text{d} y):= \left( \frac{x}{x^2+y^2} +\sin x\right)\ \text{d} x+ \left( \frac{y}{x^2+y^2} +e^y\right)\ \text{d} y$[/tex]
evidentemente non è radiale, ma è esatta in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ (0,0)\}$[/tex] e con pochi conti (ma anche "ad occhio", se sei allenato) si trova facilmente una primitiva.
Quindi consiglio a capirob di fare i conti come suggerito da Steven e j18eos...
Ok fatti i conti....e trovo una primitiva ! Ora l'itegrale curvilineo lo devo applicare alla primitiva ? Questo lo posso fare solo se la forma è esatta (campo consrvativo) ?
Ti rispondo all'ultimo post: una forma differenziale lineare sarebbe esatta se e solo se ammettesse una primitiva! Non mi ripeto ulteriormente, basta rileggere i miei precedenti post; per essere esatti 2 post. -_-
Per quanto riguarda le forme differenziali lineari radiali mi sono sentito disorientato dalla definizione data, riflettendo sono arrivato alla conclusione che non è radiale quella data; evidentemente come ha scritto gugo82 che saluto anche lui cordialmente, ciò m'induce a consigliarti di tornare a riflettere su tale definizione per delucidare i tuoi dubbi e non confondere gli altri.
Per quanto riguarda le forme differenziali lineari radiali mi sono sentito disorientato dalla definizione data, riflettendo sono arrivato alla conclusione che non è radiale quella data; evidentemente come ha scritto gugo82 che saluto anche lui cordialmente, ciò m'induce a consigliarti di tornare a riflettere su tale definizione per delucidare i tuoi dubbi e non confondere gli altri.
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