Integrale curvilineo difficile

[giowre92]

Salve a tutti, mi trovo al cospetto di questa traccia d'esercizio :

"Si calcoli la lunghezza della curva di equazione polare

$ rho =sin^2(theta) $ $ theta in [-pi, pi] $



Ho proceduto secondo la formula :

$ l(gamma) = int_-pi ^pi sqrt(rho^2(theta) + rho '^2 (theta)) d theta $ ottenendo :

$ l(gamma) = int _-pi ^pi sqrt ( (sin^4(theta) + 4 sin^2(theta) cos^2 (theta))) d theta $ .

Il problema è che arrivato a questo punto sono in vicolo cieco.

Ho provato a riscrivere l'integrale come :

$ int _-pi ^pi... = int _-pi ^pisqrt ( sin^2(theta) * (sin^2(theta) + 4 cos^2 (theta))) d theta =int_-pi ^pi sqrt ( (sin^2(theta) * (sin^2 (theta) + 4 - 4 * sin^2 (theta))) d theta $
$ = int _-pi ^pi sqrt ( sin ^2 (theta) * ( 4 - 3 * sin^2 (theta))) d theta $ $ = int _-pi ^pi sqrt ( sin ^2 (theta) * ( 4 - 3 * sin^2 (theta))) d theta $.

Ho poi provato la sostituzione $ theta = arcsin t, d theta = 1/sqrt(1-t^2) dt $

ottenendo ( considerando qui solo l'integrale indefinito) :

$ int sqrt ( t^2 * (4-3t^2))1/sqrt (1-t^2) dt $ .

Sono decisamente ad un punto morto, sarà la stanchezza o comunque la poca dimestichezza con integrali di tipo irrazionale.
Fin qui è giusto? C'era magari un metodo pi semplice? RIngrazio in anticipo chiunque dedicherà un po' di tempo per aiutarmi a venire a capo da questo esercizio

[anto_zoolander]

Ciao!

intanto noterei che l'integrando è pari pertanto possiamo considerare l'integrale su $[0,pi]$ raddoppiandolo, ovvero:

$l(gamma)=2int_(0)^(pi)sqrt(sin^2theta+4sin^2thetacos^2theta)d theta$

raccogliendo $sin^2theta$ si ottiene

$l(gamma)=2int_(0)^(pi)sin(theta)sqrt(1+3cos^2theta)d theta$

nota di fatto che la funzione $sin(x)$ è non negativa in $[0,pi]$ quindi $sin(x)$ in questo intervallo coincide con il suo valore assoluto

per comodità si può porre $costheta=t$ e $-sintheta d theta=dt$ da cui

$l(gamma)=-2int_(1)^(-1)sqrt(1+3t^2)dt=2int_(-1)^(1)sqrt(1+3t^2)dt$

ancora essendo una integrando pari avremo

$l(gamma)=4int_(0)^(1)sqrt(1+3t^2)dt$

vogliamo trovare una primitiva di questa funzione e possiamo sostanzialmente procedere così:

poniamo $1/sqrt3tan(z)=t$ e $1/sqrt3(tan^2(z)+1)dz=dt$

calcolando gli estremi di integrazione si ottiene

$l(phi)=4/sqrt3int_(0)^(pi/3)sqrt(1+tan^2z)(tan^2z+1)dz=4/sqrt3int_(0)^(pi/3)sec^3zdz$

troviamo quindi ora una primitiva di questa funzione

$int(secz)(sec^2z)dz=sec(z)tan(z)-int(sinz)/(cos^2z)*tan(z)dz$

$sec(z)tan(z)+int(1-cos^2z)/(cos^3z)dz=sec(z)tan(z)-intsec^3z dz+int1/cosz dz$

ricordando che $intsec^3dz=sec(z)tan(z)-intsec^3z dz+int1/cosz dz$

da cui $intsec^3z dz=1/2sec(z)tan(z)+1/2int1/cosz dz$

quindi non ci manca che calcolare quella primitiva e moltiplicare tutto per $4/sqrt3$

$int1/cosz dz=log(tan z+secz)$

è tardi e ho un po' di sonno quindi questo per ora lo metto così, se ti servisse lo svolgimento fammi sapere.

comunque alla fine si ottiene

$4/sqrt3intsec^3z dz=2/sqrt3sec(z)tan(z)+2/sqrt3log(tanz+secz)$

che calcolandoli in $0,pi/3$ verrà

$l(gamma)=4+2/sqrt3log(sqrt3+2)approx5,52$

non ritengo sia il metodo più veloce, però è il primo che mi è venuto in mente a st'ora.