Integrale curvilineo differenziale

[ludwigZero]

Sto provando a fare qualche esercizio sulle forme differenziali, ma sto trovando qualche difficoltà.
$\omega = (x/(x^2 +y^2) + sin x) dx + (y/(x^2 +y^2) + e^y) dy$

la curva $\phi$ di equazioni parametriche è: $\phi = (t,cos t)$

io so che:

$\int \omega = \int x(t) x'(t) dx + \int y(t) y'(t) dy$

ma i calcoli, sono venuti, nel mio caso un pò lunghetti... non è che percaso si potrebbe 'spezzare' i vari integrali in questo modo:

$\int x/(x^2 +y^2) dx +\int sin x dx + \int y/(x^2 +y^2) dy + \int e^y dy$

moltiplicando ogni pezzo per la propria derivata? mi sa che mi sfugge qualcosa...

[Quinzio]

Guarda, il procedimento è questo.
Hai:

$\omega' = Adx+Bdy$

Innanzitutto è bene verificare che $(\delA)/(\dely)=(\delB)/(\delx)$, che è condizione necessaria.

Poi si procede con $\omega=\int\ A\ dx = 1/2 log (x^2+y^2)-cosx+f(y)$

Per determinare $f(y)$ si deriva $(\del\omega)/(\dely) = (y)/(x^2+y^2)+f'(y) =B$

e si ottiene che $B=(y)/(x^2+y^2)+e^y=y/(x^2+y^2)+f'(y)$

da cui $f'(y)=e^y$, quindi $f(y)=e^y$.

E si ottiene $\omega=1/2 log (x^2+y^2)-cosx+e^y$


Quindi il risultato è $\omega(A)-\omega(B)$, dove A e B sono gli estremi di integrazione.