Integrale curvilineo di una forma differenziale

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio.

Calcolare l'ntegrale

$int_gamma -e^y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2dx+ xe^y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2dy$

dove $gamma$ è la spezzata di vertici (-1,0),(1,1/2),(1,0) orientata da (-1,0) verso (1,0).

L'integrale della forma differenziale su $gamma$ è la somma degli integrali su $gamma_1$ e $gamma_2$. Si ha che:

$gamma_1 = {(x=t),(y=1/4(t+1)):}$ con $t in [-1,1]$

$gamma_2 = {(x=1),(y=t):}$ con $t in [0,1/2]$

Il primo integrale sarà quindi:
$int_(gamma_1) -e^y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2x'(t)dx+ xe^y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2y'(t)dy=$
$=int_-1^1 -e^[1/4(t+1)](t^2-[1/4(t+1)]^2)/(t^2+[1/4(t+1)]^2)^2dt+int_-1^1 1/4 te^[1/4(t+1)](t^2-[1/4(t+1)]^2)/(t^2+[1/4(t+1)]^2)^2dt$
....
Esiste per caso un altro modo di svolgere questa categoria di esercizi?

[ciampax]

Ma provare a verificare se la forma sia chiusa (ed esatta) prima di lanciarsi in calcoli senza via d'uscita no, eh?

[sirio25788-votailprof]

"ciampax":Ma provare a verificare se la forma sia chiusa (ed esatta) prima di lanciarsi in calcoli senza via d'uscita no, eh?

Già fatto...non è chiusa.

[sirio25788-votailprof]

up

[dissonance]

Se una forma differenziale non è chiusa non c'è nessun teorema a nostra disposizione. L'unica possibilità è applicare direttamente la definizione.

[sirio25788-votailprof]

Ok. Grazie.