Integrale curvilineo di una forma differenziale
Buonasera a tutti!
Ho il seguente esercizio:
"Sia assegnata la forma differenziale: [tex]\displaystyle \omega(x,y)=\frac{y(\log y-1)}{x^2+1}\textrm{d}x+(\arctan x\log y)\textrm{d}y[/tex]. Calcolare l'integrale curvilineo di [tex]\omega[/tex] esteso alla curva di equazione [tex]y=x^3[/tex], con [tex]x\in [-1;1][/tex], percorsa nel verso delle [tex]x[/tex] crescenti".
Non so se mi sbaglio, ma secondo me il testo presenta un errore in quanto il sostegno della curva assegnata non è contenuto nell'insieme di definizione [tex]D[/tex] della forma (che chiaramente è: [tex]D=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2|y>0\}[/tex]). Infatti, ad esempio il primo estremo della curva: [tex](-1;-1)\notin D[/tex].
In attesa di un vostro riscontro, vi ringrazio anticipatamente.
Ho il seguente esercizio:
"Sia assegnata la forma differenziale: [tex]\displaystyle \omega(x,y)=\frac{y(\log y-1)}{x^2+1}\textrm{d}x+(\arctan x\log y)\textrm{d}y[/tex]. Calcolare l'integrale curvilineo di [tex]\omega[/tex] esteso alla curva di equazione [tex]y=x^3[/tex], con [tex]x\in [-1;1][/tex], percorsa nel verso delle [tex]x[/tex] crescenti".
Non so se mi sbaglio, ma secondo me il testo presenta un errore in quanto il sostegno della curva assegnata non è contenuto nell'insieme di definizione [tex]D[/tex] della forma (che chiaramente è: [tex]D=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2|y>0\}[/tex]). Infatti, ad esempio il primo estremo della curva: [tex](-1;-1)\notin D[/tex].
In attesa di un vostro riscontro, vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ciao anche a me interessa questo argomento...ma sei sicuro che il testo sia proprio questo ?
Io ho provato a risolverlo tralasciando la domanda che hai posto tu...si dimostra che $omega$ è chiusa in un semplicemente connesso (il $D$ che hai definito tu) ed è quindi esatta. Una primitiva si vede ad occhio che è $f(x, y) = y log(y-1) arctan x$. Però effettivamente ora che devo calcolare l'integrale come $int_gamma omega = f(1,1) - f(-1,-1)$ non ha senso farlo !!!
Io ho provato a risolverlo tralasciando la domanda che hai posto tu...si dimostra che $omega$ è chiusa in un semplicemente connesso (il $D$ che hai definito tu) ed è quindi esatta. Una primitiva si vede ad occhio che è $f(x, y) = y log(y-1) arctan x$. Però effettivamente ora che devo calcolare l'integrale come $int_gamma omega = f(1,1) - f(-1,-1)$ non ha senso farlo !!!
Esatto! Ho fatto anche io tutte le osservazioni che hai fatto tu e sono arrivato allo stesso punto!
Il testo è esattamente quello postato.
In ogni caso l'ho modificato con la curva [tex]y=x^2[/tex] (nel medesimo intervallo) il cui sostegno è chiaramente contenuto in [tex]D[/tex]...
Se vuoi, prova a farlo con questa funzione e confrontiamo i risultati!
Il testo è esattamente quello postato.
In ogni caso l'ho modificato con la curva [tex]y=x^2[/tex] (nel medesimo intervallo) il cui sostegno è chiaramente contenuto in [tex]D[/tex]...
Se vuoi, prova a farlo con questa funzione e confrontiamo i risultati!
Considerando $y =x ^ 2$ direi che il procedimento non cambia: la forma èchiusa in un semplicemente connesso e quindi è esatta. Una primitiva è $f(x,y) = y(logy-1) arctan x$, quindi l'integrale di linea sulla curva di equazione $y = x ^2$ orientata nel verso delle $x$ crescenti, per $x in [-1;1]$ è semplicemente $f(1,1) - f(-1,1) = - pi/2$...
COsì sarebbe sensato
Dici che potrebbe esserci un errore di stampa ?
Per curiosità tu come hai definitio l'integrale curvilineo ???
COsì sarebbe sensato
Dici che potrebbe esserci un errore di stampa ? Per curiosità tu come hai definitio l'integrale curvilineo ???
Secondo me si tratta di un errore di stampa.
Vuoi sapere la definizione di integrale curvilineo di una funzione o di una forma differenziale?
Vuoi sapere la definizione di integrale curvilineo di una funzione o di una forma differenziale?
Quello di integrale di linea di una 1-forma differenziale
La definizione che ho trovato più completa è la seguente:
Siano assegnati: una curva [tex]\gamma:[a;b]\rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] di classe [tex]\mathcal{C}^1[/tex], un campo vettoriale continuo: [tex]\mathbf{F}:\gamma([a;b])\rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] e la forma differenziale [tex]\omega[/tex] associata a [tex]\mathbf{F}[/tex]. Si definisce integrale curvilineo della forma differenziale [tex]\omega[/tex] lungo [tex]\gamma[/tex]: [tex]\displaystyle \int_{\gamma}\omega=\int_{\gamma}F_1\textrm{d}x_1+\cdots F_n\textrm{d}x_n:=\int_{a}^{b}(F_1(\gamma(t)))\gamma_1'(t)+\cdots+F_n(\gamma(t))\gamma'_{n}(t))\textrm{d}t[/tex].
Tu?
Siano assegnati: una curva [tex]\gamma:[a;b]\rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] di classe [tex]\mathcal{C}^1[/tex], un campo vettoriale continuo: [tex]\mathbf{F}:\gamma([a;b])\rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] e la forma differenziale [tex]\omega[/tex] associata a [tex]\mathbf{F}[/tex]. Si definisce integrale curvilineo della forma differenziale [tex]\omega[/tex] lungo [tex]\gamma[/tex]: [tex]\displaystyle \int_{\gamma}\omega=\int_{\gamma}F_1\textrm{d}x_1+\cdots F_n\textrm{d}x_n:=\int_{a}^{b}(F_1(\gamma(t)))\gamma_1'(t)+\cdots+F_n(\gamma(t))\gamma'_{n}(t))\textrm{d}t[/tex].
Tu?
Mmm non capisco bene la tua definizione...nel senso è necessario parlare di campo vettoriale $F$ ? ..
Il mio professore ha definito una 1-forma differenziale $omega$ come una funzione di $D$ in $X^"*"$, dove $X$ è uno spazio normato di dimensione $n$, $X^"*"$ è il suo duale e $D$ è un sottoinsieme (eventualmente aperto) di $X$...
Poi ha definito l'integrale curvilineo di una 1-forma lungo una varietà parametrica , lungo un cammino (che è una curva $C^1$ a tratti se non ho capito male), e lungo una varietà differenziale di dimensione 1 in immersa in $X$, orientata.
Ti metto la definizione di integrale curvilineo lungo una varietà parametrica perchè è quella più simile alla tua:
" Sia $X$ spazio normato di dimensione finita e sia $phi in C^1(I, D), D sub X, $ una varietà parametrica a valori in $D$ e $ I sub R $ aperto.Diremo che la 1-forma differenziale $omega$ di $D$ in $X^"*"$ ha un integrale di linea lungo la varietà $phi$ se:
$omega (phi(t))[phi'(t)]$ è integrabile per ogni $t in I$. Se ciò accade porremo $int_phi omega = int_I omega (phi(t))[phi'(t)] dt$ "
PS Scusami, non vorrei farti ancora più casino su queste cose
..Il mio professore ha definito una 1-forma differenziale $omega$ come una funzione di $D$ in $X^"*"$, dove $X$ è uno spazio normato di dimensione $n$, $X^"*"$ è il suo duale e $D$ è un sottoinsieme (eventualmente aperto) di $X$...
Poi ha definito l'integrale curvilineo di una 1-forma lungo una varietà parametrica , lungo un cammino (che è una curva $C^1$ a tratti se non ho capito male), e lungo una varietà differenziale di dimensione 1 in immersa in $X$, orientata.
Ti metto la definizione di integrale curvilineo lungo una varietà parametrica perchè è quella più simile alla tua:
" Sia $X$ spazio normato di dimensione finita e sia $phi in C^1(I, D), D sub X, $ una varietà parametrica a valori in $D$ e $ I sub R $ aperto.Diremo che la 1-forma differenziale $omega$ di $D$ in $X^"*"$ ha un integrale di linea lungo la varietà $phi$ se:
$omega (phi(t))[phi'(t)]$ è integrabile per ogni $t in I$. Se ciò accade porremo $int_phi omega = int_I omega (phi(t))[phi'(t)] dt$ "
PS Scusami, non vorrei farti ancora più casino su queste cose
No, non è necessario parlare di campo vettoriale!
Si tratta di due definizioni diverse...
P.S. Nessun problema!
Si tratta di due definizioni diverse...
P.S. Nessun problema!
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