Integrale curvilineo di una forma differenziale
Buongiorno a tutti!
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio tratto da un tema d'esame di Analisi II, e vi sarei veramente grato se poteste fornirmi delucidazioni a riguardo.
Sia data la curva $\gamma(t) = (\cos(t),4\sin(t))$ con t $\in [0,2\pi]$ e la forma differenziale
\[\omega = (e^{x^2}-y)dx + \arctan(y)dy\]
Calcolare
\[\int_{\gamma}\omega\]
Ho ragionato in questo modo:
il dominio è $D = \mathbb{R}^2$, che risulta essere semplicemente connesso. E' dunque valido il teorema di Poincaré per il quale, se $\omega$ è chiusa, allora è anche esatta.
Verifico la chiusura:
$\frac{\partial}{\partial y}[(e^{x^2}-y)] = -1\ ; \ \frac{\partial}{\partial x} [\arctan(y)] = 0$.
La forma differenziale $\omega$, dunque, non è chiusa e non è esatta. Quindi sicuramente, poiché $\gamma$ è chiusa, $\int_{\gamma}\omega \ne 0$.
Dalla definizione di integrale curvilineo ottengo:
$\int_{\gamma}\omega = \int_{0}^{2\pi}[(-\sin(t))(e^{\cos^2(t)} - 4\sin(t))+4\cos(t)\arctan(4\sin(t))]dt$
Osservo che $\int_{0}^{2\pi}4\cos(t)\arctan(4\sin(t))dt = [calcoli..] = 0$
Rimarrebbe da calcolare $\int_{\gamma}\omega = \int_{0}^{2\pi}(-\sin(t))(e^{\cos^2(t)}-4\sin(t))dt$
che non riesco a risolvere. Potreste dirmi, innanzitutto, se il ragionamento è corretto e, eventualmente, come calcolare quest'ultimo integrale?
Vi ringrazio infinitamente dell'attenzione!
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio tratto da un tema d'esame di Analisi II, e vi sarei veramente grato se poteste fornirmi delucidazioni a riguardo.
Sia data la curva $\gamma(t) = (\cos(t),4\sin(t))$ con t $\in [0,2\pi]$ e la forma differenziale
\[\omega = (e^{x^2}-y)dx + \arctan(y)dy\]
Calcolare
\[\int_{\gamma}\omega\]
Ho ragionato in questo modo:
il dominio è $D = \mathbb{R}^2$, che risulta essere semplicemente connesso. E' dunque valido il teorema di Poincaré per il quale, se $\omega$ è chiusa, allora è anche esatta.
Verifico la chiusura:
$\frac{\partial}{\partial y}[(e^{x^2}-y)] = -1\ ; \ \frac{\partial}{\partial x} [\arctan(y)] = 0$.
La forma differenziale $\omega$, dunque, non è chiusa e non è esatta. Quindi sicuramente, poiché $\gamma$ è chiusa, $\int_{\gamma}\omega \ne 0$.
Dalla definizione di integrale curvilineo ottengo:
$\int_{\gamma}\omega = \int_{0}^{2\pi}[(-\sin(t))(e^{\cos^2(t)} - 4\sin(t))+4\cos(t)\arctan(4\sin(t))]dt$
Osservo che $\int_{0}^{2\pi}4\cos(t)\arctan(4\sin(t))dt = [calcoli..] = 0$
Rimarrebbe da calcolare $\int_{\gamma}\omega = \int_{0}^{2\pi}(-\sin(t))(e^{\cos^2(t)}-4\sin(t))dt$
che non riesco a risolvere. Potreste dirmi, innanzitutto, se il ragionamento è corretto e, eventualmente, come calcolare quest'ultimo integrale?
Vi ringrazio infinitamente dell'attenzione!
Risposte
In quel modo ti complichi solo le cose.
La forma $omega$ si scrive come somma di due forme, $omega_c$ ed $omega_(nc)$, una conservativa e l’altra no.
Osservato questo fatto, il calcolo diventa banale.
La forma $omega$ si scrive come somma di due forme, $omega_c$ ed $omega_(nc)$, una conservativa e l’altra no.
Osservato questo fatto, il calcolo diventa banale.
Innanzitutto grazie mille della risposta!
Ok, quindi in questi casi conviene scomporre $\omega$ così:
\[\omega=\omega_c+\omega_{nc}=(e^{x^2}dx+\arctan(y)dy)+(-ydx).\]
In effetti $\omega_c$ risulta essere conservativa poiché:
\[\frac{\partial}{\partial{y}}[e^{x^2}]=\frac{\partial}{\partial{x}}[\arctan(y)]=0.\]
Poi $\mathbb{R}^2$ è semplicemente connesso, dunque $\omega_c$ risulta esatta.
Segue che il suo contributo nell'integrale esteso a qualunque curva chiusa è nullo, e quindi resta da calcolare:
$\int_{0}^{2\pi}(-4\sin(t))(-\sin(t))=4\int_{0}^{2\pi}\sin^2(t)=4[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin(2t)]_{0}^{2\pi}=4\pi$.
E' corretto? Grazie ancora dell'attenzione, gentilissimo!
Ok, quindi in questi casi conviene scomporre $\omega$ così:
\[\omega=\omega_c+\omega_{nc}=(e^{x^2}dx+\arctan(y)dy)+(-ydx).\]
In effetti $\omega_c$ risulta essere conservativa poiché:
\[\frac{\partial}{\partial{y}}[e^{x^2}]=\frac{\partial}{\partial{x}}[\arctan(y)]=0.\]
Poi $\mathbb{R}^2$ è semplicemente connesso, dunque $\omega_c$ risulta esatta.
Segue che il suo contributo nell'integrale esteso a qualunque curva chiusa è nullo, e quindi resta da calcolare:
$\int_{0}^{2\pi}(-4\sin(t))(-\sin(t))=4\int_{0}^{2\pi}\sin^2(t)=4[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin(2t)]_{0}^{2\pi}=4\pi$.
E' corretto? Grazie ancora dell'attenzione, gentilissimo!
Ad occhio direi di sì. Brav.
Perfetto, la ringrazio ancora della disponibilità! 
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