Integrale curvilineo di una forma differenziale
Ciao a tutti! Ho da calcolare il seguente integrale:
$\int_gamma^{}omega$
con
$\omega = sqrt{2}dx + xdy + ydz$
e
$\gamma={(x = tsent), (y = 1-cost), (z = t^2):}$
con $\t in [0, pi/2]$
tuttavia usando le derivate di $\gamma$ e sostituendo in
$\int_t^{}omega(gamma(t))|gamma^1(t)|dt$
il risultato, ottenuto dopo innumerevoli calcoli, resta sbagliato. Ci dev'essere qualcosa che mi sfugge, potreste aiutarmi?
$\int_gamma^{}omega$
con
$\omega = sqrt{2}dx + xdy + ydz$
e
$\gamma={(x = tsent), (y = 1-cost), (z = t^2):}$
con $\t in [0, pi/2]$
tuttavia usando le derivate di $\gamma$ e sostituendo in
$\int_t^{}omega(gamma(t))|gamma^1(t)|dt$
il risultato, ottenuto dopo innumerevoli calcoli, resta sbagliato. Ci dev'essere qualcosa che mi sfugge, potreste aiutarmi?
Risposte
\[
I:=\int_{\gamma} \omega = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sqrt{2} (\sin{t} +t\cos{t}) + t\sin^2{t} + (1-\cos{t})2t] \mathrm{d}t.
\]
Svolgendo un po' i conti,
\[
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sqrt{2}\sin{t} +(\sqrt{2}-2)t\cos{t} + t\sin^2{t} + 2t] \mathrm{d}t.
\]
Il primo e il quarto pezzo sono immediati; il secondo e il terzo si fanno per parti.
Ti ritrovi fin qui? Prova a postare i tuoi conti, che ne discutiamo un attimo.
I:=\int_{\gamma} \omega = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sqrt{2} (\sin{t} +t\cos{t}) + t\sin^2{t} + (1-\cos{t})2t] \mathrm{d}t.
\]
Svolgendo un po' i conti,
\[
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sqrt{2}\sin{t} +(\sqrt{2}-2)t\cos{t} + t\sin^2{t} + 2t] \mathrm{d}t.
\]
Il primo e il quarto pezzo sono immediati; il secondo e il terzo si fanno per parti.
Ti ritrovi fin qui? Prova a postare i tuoi conti, che ne discutiamo un attimo.
Allora...posto il primo passaggio e i risultati:
$\sqrt(2)[-cost]_0^{pi/2}+(sqrt(2)-2)[tsint-cost]_0^{pi/2}+[t^2/4-1/4(tsen2t+(cos2t)/2)]_0^{pi/2}+[t^2]_0^{pi/2}$
svolgendo i passaggi risulta:
$\(5pi^2)/16+pi(sqrt(2)/2-1)+18/8$
può essere?
$\sqrt(2)[-cost]_0^{pi/2}+(sqrt(2)-2)[tsint-cost]_0^{pi/2}+[t^2/4-1/4(tsen2t+(cos2t)/2)]_0^{pi/2}+[t^2]_0^{pi/2}$
svolgendo i passaggi risulta:
$\(5pi^2)/16+pi(sqrt(2)/2-1)+18/8$
può essere?
Modificato il posto perchè avevo trovato degli errori...comunque il risultato che mi ha dato la prof è totalmente diverso...
$\3pi^2/8+4-7pi/4$
Non riesco ad uscirne per favore datemi una mano
$\3pi^2/8+4-7pi/4$
Non riesco ad uscirne per favore datemi una mano
Hmmmm...son 3 giorni che vado dietro questo esercizio, per lo meno qualcuno mi da ragione xD. Ad ogni modo chiederò chiarimenti alla prof
Ah e grazie per le risposte comunque 
Ma prego, figurati.
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