Integrale curvilineo di una forma diff lungo una curva

[Genny_it]

ragazzi potete aiutarmi su questo? L'esercizio chiedeva questo:
Calcolare la seguente forma differenziale:
$omega= y/(x^2y^2+4) dx+x/(x^2y^2+4) dy$
e calcolare l'integrale curvilineo lungo la curva $gamma= {(x,y) in R^2 : (-1 <= x <= 1), y>=0, x^2+y^2=1}$
disegnando la curva in questione è il semi arco di circonferenza compreso fra $0$ e $pi$ di raggio $1$
dopo aver risolto la forma differenziale ed aver quindi calcolato una primitiva, ho iniziato con lo svolgere l'integrale curvilineo, quindi posto:
$x=rcos(t)$ e $ y=rsen(t)$ e $r=1$ $tin[0,pi]$
l'integrale mi esce:
$int_(0)^(pi) {(sen(t))/(cos^2(t)sen^2t+4)*(-sen(t))+(cos(t))/(cos^2(t)sen^2(t)+4) *cos(t)} dt $
e visto che nono sono proprio riuscito a risolverlo, quello che volevo chiedere era questo:
Chiamando $A$ il punto $(-1,0)$ e $B$ il punto $(1,0)$ posso calcolare l'integrale facendo:
$F(A)-F(B)$, dove $F(x,y)$ è la primitiva che mi sono calcolato risolvendo la forma differenziale facendo
$int y/(x^2y^2+4) dx$, derivando poi il risultato rispetto a $y$ e ponendo la derivata uguale a $x/(x^2y^2+4)$ per potermi calcolare la costante $c(y)$ ; ?
Spero di esser stato abbastanza chiaro

[Genny_it]

ohohoh ma vorrei chiedere giusto una cosa:

"TeM":Dunque, data la forma differenziale \[ \omega(x,\,y) := \frac{y}{x^2\,y^2+4}\,\text{d}x + \frac{x}{x^2\,y^2 + 4}\,\text{d}y \,, \] dal momento che il proprio dominio risulta essere \[ D_{\omega} \equiv \mathbb{R}^2\,, \] insieme semplicemente connesso, e che \[ \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{y}{x^2\,y^2+4} \right) - \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x}{x^2\,y^2+4} \right) = 0 \; \; \; \forall\,(x,\,y) \in D_{\omega}\,, \] ossia che \(\omega\) è anche chiusa in \(D_{\omega}\), segue che \(\omega\) è esatta in \(D_{\omega}\).

Alla luce di tale fatto, \(\omega\) ammette una primitiva \(\eta\) in \(D_{\omega}\) determinabile tramite integrazione: \[ \begin{aligned} & \eta(x,\,y) = \int \frac{y}{x^2\,y^2+4}\,\text{d}x = \frac{1}{2}\,\arctan\left(\frac{x\,y}{2}\right) + c(y) \; ; \\ & \eta(x,\,y) = \int \frac{x}{x^2\,y^2+4}\,\text{d}y = \frac{1}{2}\,\arctan\left(\frac{x\,y}{2}\right) + c(x) \; ; \end{aligned} \] e assumendo banalmente \(c(x) = c(y) = 0\) si ottiene la primitiva cercata, ossia \[ \eta(x,\,y) = \frac{1}{2}\,\arctan\left(\frac{x\,y}{2}\right) \] che come è facile constatare verifica \(\text{d}\eta = \omega\) in \(D_{\omega}\).

A questo punto, qualora si richieda il calcolo dell'integrale curvilineo \[ \int_{\gamma} \omega\,, \] con \(\gamma\) il sostegno della semicirconferenza \[ \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1, \; y \ge 0 \right\}\,, \] banalmente, si ha \[ \int_{\gamma} \omega = \int_{\gamma} \text{d}\eta = \eta(-1,\,0) - \eta(1,\,0) = 0 - 0 = 0 \] che è decisamente un conto molto più semplice rispetto all'applicazione della
definizione che prevede preliminarmente la parametrizzazione della curva: \[ \gamma : (x,\,y) = (\cos\theta, \; \sin\theta)\,, \; \; \; \text{per} \; \theta \in [0,\,\pi] \] e in seguito il calcolo del seguente integrale curvilineo: \[ \int_{\gamma} \omega = \int_0^{\pi} \left[ \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta\,\sin^2\theta+4}\,(-\sin\theta) + \frac{\cos\theta}{\cos^2\theta\,\sin^2\theta + 4}\,(\cos\theta) \right]\text{d}\theta = \dots = 0 \; . \]
Spero sia sufficientemente chiaro.

"TeM":Alla luce di tale fatto, \(\omega\) ammette una primitiva \(\eta\) in \(D_{\omega}\) determinabile tramite integrazione: \[ \begin{aligned} & \eta(x,\,y) = \int \frac{y}{x^2\,y^2+4}\,\text{d}x = \frac{1}{2}\,\arctan\left(\frac{x\,y}{2}\right) + c(y) \; ; \\ & \eta(x,\,y) = \int \frac{x}{x^2\,y^2+4}\,\text{d}y = \frac{1}{2}\,\arctan\left(\frac{x\,y}{2}\right) + c(x) \; ; \end{aligned} \]

nel caso in cui i risultati dei due integrali che ho ricitato fossero diversi, possiamo sempre agire nello stesso modo?
Cioè quello che voglio dire bisogna verificare qualcosa per poter agire in questo modo? o qualunque siano i risultati degli integrali, poniamo $c(x) = c(y) = 0$ e continuiamo con la risoluzione?
Chiedo questo perchè nel caso in cui i risultati degli int non fossero uguali, avremmo poi risultati differenti per il calcolo dell'integrale curvilineo

p.s non so se dovevo rispondere qui o di là, nel dubbio ho risposto qua :p
p.s.s. Grazie mille

[Genny_it]

"TeM":
è un fondamentale teorema sulle forme differenziali che fornisce una condizione sufficiente ("dominio semplicemente
connesso + forma differenziale chiusa") per assicurare l'esistenza di una primitiva della forma differenziale e quindi ciò
significa che tutte le volte che tale teorema è applicabile sicuramente la primitiva esiste, in caso contrario non è detto
e in caso di riscontro negativo occorre per forza di cose applicare la definizione (per quanto possa essere complicato).

Ho quasi le idee abbastanza chiare; nel caso di un dominio $x^2+y^2!=0$ quindi che abbia come punto di esclusione $(0,0)$
accade che il dominio non è semplicemente connesso ma possiamo suddividerlo in due nuovi "domini" localmente connessi ponendo ad esempio $ D_1 ={(x,y) in R^2 : x < 0}; D_2={(x,y) in R^2 : x>0} $ se le derivate "incrociate" coincidono come nel caso che abbiamo visto sappiamo che la forma è chiusa e esatta nei "due nuovi domini" , quindi esiste una primitiva, e la calcoliamo!
Ma ai fini pratici quello che vorrei capire, o averne proprio una certezza, è:
se la forma è chiusa e ci troviamo in un dominio semplicemente o localmente connesso, è possibile che calcolando la primitiva, partendo dall'integrare una parte della nostra forma differenziale da $dx$ o $dy$ si giunge a risultati diversi?
mi spiego meglio;
abbiamo la nostra forma differenziale:
$omega = M(x,y) dx + N(x,y) dy$ per ipotesi consideriamo un dominio del tipo $D_omega= x^2+y^2!=0$
faccio le derivate incrociate, quindi:
$(DM(x,y))/dy = (DN(x,y))/dx$
a questo punto mi chiedo se mi calcolo la primitiva partendo da $int M(x,y) dx$ derivando poi rispetto a $y$ e con il procedimento che segue, la primitiva risultante è uguale in ogni caso se inizio da $int N(x,y) dy$ e derivando poi rispetto a $ x$ con quello che ne segue..?
Nel caso in cui le primitive siano diverse (se può accadere), non posso più calcolare $ int_gamma omega = F(A)-F(B)$ o sbaglio?
oppure una volta verificato che il dominio sia localmente connesso o semplicemente connesso e che le derivate "incrociate" coincidano, ed avendo i due estremi della curva $gamma$ posso invece sempre usare questa $ int_gamma omega= F(A)-F(B)$ dove $A$ e $B$ sono i due estremi della curva?


chiedo scusa per aver risposto un poco tardi e per le eventuali carenze di teoria, o per i mie dubbi forse basati sul nulla, ma l'argomento non mi è ancora tanto chiaro e mi risulta un po' difficile!
grazie ancora della tua/vostra disponibilità

[Genny_it]

Chiedo scusa per la mia ignoranza ma non ho capito, come fai il passaggio da $-arctan (x/y) + cy$ a $arctan (y/x) +c$

[Genny_it]

grazie per i passaggi, ma quindi nel caso di calcolo di un integrale curvilineo, lunga una curva $gamma$ di due estremi A e B
potremmo applicare la formula:
$int_gamma omega = F(A)-F(B)$ Dove $F(x,y)$ a questo punto non è più la primitiva $-arctan(x/y) + c(y) $ oppure $arctan (y/x) +c(x)$ ma $arctan (y/x) + c$ ?

cmq ti ringrazio ancora, non ho proprio le idee chiarissime ma penso di aver capito qualcosa in più, graziee

[Genny_it]

Va bene credo di aver capito adesso, grazie mille per l'aiuto