Integrale curvilineo di un campo vettoriale conservativo

[dark.hero]

Ciao a tutti

Dato il seguente campo vettoriale conservativo

$ F(x,y) = [7x^6log(y^2+1) + y^8/(1+x^2)]i + [(2x^7y)/(1+y^2) + 8y^7arctan(x)]j $

calcolare l'integrale curvilineo $ int_(T)^() F dT $

essendo $ T $ la curva $ y=sin(pi/2 x), 0<=x<=1 $, percorsa nel verso che va dal punto $ (0,0) $ al punto $ (1,1) $

1) L'integrale di linea è un integrale curvilineo esteso ai campi vettoriali. Devo quindi calcolare un integrale di linea?
2) Non so come comportarmi con la curva data. come imposto l'integrale?

Grazie

[Fabrizio84901]

io credo che tu debba parametrizzare la curva ponendo $x=t$ e $y=sin((pi)/2t)$ e sostituirlo in $x$ e $y$ della divergenza del campo,
quindi hai adesso solo una variabile $t$

questa variabile è compresa tra $0$ e $1$ come dice l'esercizio

quindi integri la divergenza del tuo campo vettoriale in $t$ che varia da $0$ a $1$(viaria da $0$ a $1$ perchè come dice il problema devi sapere che il verso di percorrenza è da $(0,0)$ a $(1,1)$ ma se ti disegni la funzione capirai sicuramente meglio)

[dark.hero]

ma l'integrale poi è di linea?

[walter891]

"dark.hero":ma l'integrale poi è di linea?

si è di linea, però invece di calcolarlo esplicitamente puoi anche trovare il valore attraverso la funzione potenziale del campo conservativo

[dark.hero]

se ho capito:

$ r(t) = (t,sin(pi/2t)) $

$F(r(t)) = [ 7t^6 log(sin^2(pi/2 t) +1) + (sin^8(pi/2t))/(1+t^2) ]i + [(2t^7 sin(pi/2t))/(1+sin^2(pi/2t)) + 8sin^7(pi/2t)arctan(t)]j $

e poi devo calcolare
$ int_(0)^(1) F(r(t))*r'(t) dt $

mi sembra un po' complesso. dove sbaglio?
grazie

[ciampax]

Non sbagli niente, ma forse ti sfugge un piccolissimo particolare: Se $F$ è conservativo, allora $F=\nabla U$ e

[tex]$\int_A^B F=U(B)-U(A)$[/tex]

dove $A$ e $B$ sono il punto iniziale e finale della curva su cui vuoi calcolare l'integrale. Quello che devi fare è cercare una funzione scalare $U$ tale che $\nabla U=F$. (E magari prima andarti a rileggere un po' la teoria relativa a queste cose!)

[dark.hero]

grazie ciampax.

Ho calcolato il potenziale che mi risulta $ U = x^7log(y^2+1) + y^8arctan(x) $

$ U(0,0) = 0 $
$ U(1,1) = log(2) + arctan(1) $

quindi

$ U(1,1) - U(0,0) = log(2) + arctan(1) $

[ciampax]

Sì, ma $\arctan(1)=?$

[dark.hero]

ops

$ U(1,1) - U(0,0) = log(2) + arctan(1) = log(2) + pi/4 $

molte grazie

[Fabrizio84901]

Vedo che hanno risposto in maniera più che esaustiva gli altri utenti