Integrale curvilineo di seconda specie
Salve ragazzi! Facendo un esercizio (non di analisi) mi è venuto un dubbio sugli integrali curvilinei.
Nell' esercizio mi veniva assegnato un campo vettoriale in coordinate polari $vecv=(Gamma/(2rpi))vecr + (-Gamma/(2rpi))vec\theta$ e di questo campo dovevo calcolarne la circuitazione lungo la circonferenza centrata nell' origine di raggio genrico $r$.
L' esercizio l' ho svolto, in due modi anche, uno in cui consideravo l' integrale $L=∮v⃗ ⋅dvecl$ dove con $dvecl$ ho indicato l' infinetismo arco di circonferenza approssimandolo con $dvecl=rvecd\theta$. Così in questo modo ho fatto l' integrale $L=∮v⃗ ⋅dvecl=\int_{0}^{2\pi}((Gamma/(2rpi))vecr , (-Gamma/(2rpi))vec\theta)⋅((0)vecr , (rd\theta)vec\theta)$ ottenendo la soluzione esatta pari a $-Gamma$.
Poi l' integrale l' ho svolto parametrizzando invece la circonferenza di centro origine con la curva $(cost, sent)$ con $t in [0,2pi]$ e svolgendo l' integrale $\int_{0}^{2\pi}((Gamma/(2costpi))vecr , (-Gamma/(2costpi))vec\theta)⋅(-sent, cost)dt$ ottenendo la stessa soluzione.
Nel secondo caso ho applicato la "definizione" di integrale curvilineo di seconda specie, ma nel primo caso mi chiedo dal punto di vista di natura propriamente matematica il perché sia corretto farlo anche il quel modo vedendo proprio la definizione di integrale curvilineo di seconda specie, il mio professore lo fa con il primo metodo. Tornando alla definizione che dà il mio libro $L=oint_(Gamma)vecF ⋅dvecs$ il dubbio che mi viene è se sia lecito passare dall' integrale sulla curva allo scrivere gli estremi di integrazione dell' integrale direttamente come $[0,2pi]$, è proprio il cambio di estremo di integrazione che non mi convince. Qualcuno può dirmi se il ragionamento fatto è giusto oppure una eventuale spiegazione? Spero di essere stato chiaro! Grazie in anticipo!
Nell' esercizio mi veniva assegnato un campo vettoriale in coordinate polari $vecv=(Gamma/(2rpi))vecr + (-Gamma/(2rpi))vec\theta$ e di questo campo dovevo calcolarne la circuitazione lungo la circonferenza centrata nell' origine di raggio genrico $r$.
L' esercizio l' ho svolto, in due modi anche, uno in cui consideravo l' integrale $L=∮v⃗ ⋅dvecl$ dove con $dvecl$ ho indicato l' infinetismo arco di circonferenza approssimandolo con $dvecl=rvecd\theta$. Così in questo modo ho fatto l' integrale $L=∮v⃗ ⋅dvecl=\int_{0}^{2\pi}((Gamma/(2rpi))vecr , (-Gamma/(2rpi))vec\theta)⋅((0)vecr , (rd\theta)vec\theta)$ ottenendo la soluzione esatta pari a $-Gamma$.
Poi l' integrale l' ho svolto parametrizzando invece la circonferenza di centro origine con la curva $(cost, sent)$ con $t in [0,2pi]$ e svolgendo l' integrale $\int_{0}^{2\pi}((Gamma/(2costpi))vecr , (-Gamma/(2costpi))vec\theta)⋅(-sent, cost)dt$ ottenendo la stessa soluzione.
Nel secondo caso ho applicato la "definizione" di integrale curvilineo di seconda specie, ma nel primo caso mi chiedo dal punto di vista di natura propriamente matematica il perché sia corretto farlo anche il quel modo vedendo proprio la definizione di integrale curvilineo di seconda specie, il mio professore lo fa con il primo metodo. Tornando alla definizione che dà il mio libro $L=oint_(Gamma)vecF ⋅dvecs$ il dubbio che mi viene è se sia lecito passare dall' integrale sulla curva allo scrivere gli estremi di integrazione dell' integrale direttamente come $[0,2pi]$, è proprio il cambio di estremo di integrazione che non mi convince. Qualcuno può dirmi se il ragionamento fatto è giusto oppure una eventuale spiegazione? Spero di essere stato chiaro! Grazie in anticipo!
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