Integrale curvilineo di forma differenziale esatta
Salve a tutti,
Sto provando a fare qualche esercizio sugli integrali curvilinei di forme differenziali, e non avendo alcun riscontro non so se sto facendo bene. Eccone un esempio.
Calcolare l'integrale
$int_{gamma} (2x^3-x^2-2xy-y)/((x^2-y)^2)dx + (-x^2+x+y)/((x^2-y)^2)dy$
dove $(gamma,phi)$ è la curva di parametrizzazione $phi(t)=(t,t^3+t^2-3t-1)$ $t in [-1,2]$.
La forma differenziale è definita in $D-={(x,y)in RR^2 : y != x^2}$. Ovviamente tale insieme non è ne stellato ne semplicemente connesso. Quindi la studieremo in $A-={(x,y)in RR^2 : y > x^2}$ semplicemente connesso.
A questo punto si dimostra che la forma differenziale su A è chiusa e quindi esatta.
Integrando si trova un potenziale.
$U(x,y)=log(y-x^2)-x/(y-x^2)$
Quindi: $int_{gamma} omega = U(2,5)-U(-1,2)=-3$
Il procedimento che ho applicato è giusto? C'è qualche errore?
Sto provando a fare qualche esercizio sugli integrali curvilinei di forme differenziali, e non avendo alcun riscontro non so se sto facendo bene. Eccone un esempio.
Calcolare l'integrale
$int_{gamma} (2x^3-x^2-2xy-y)/((x^2-y)^2)dx + (-x^2+x+y)/((x^2-y)^2)dy$
dove $(gamma,phi)$ è la curva di parametrizzazione $phi(t)=(t,t^3+t^2-3t-1)$ $t in [-1,2]$.
La forma differenziale è definita in $D-={(x,y)in RR^2 : y != x^2}$. Ovviamente tale insieme non è ne stellato ne semplicemente connesso. Quindi la studieremo in $A-={(x,y)in RR^2 : y > x^2}$ semplicemente connesso.
A questo punto si dimostra che la forma differenziale su A è chiusa e quindi esatta.
Integrando si trova un potenziale.
$U(x,y)=log(y-x^2)-x/(y-x^2)$
Quindi: $int_{gamma} omega = U(2,5)-U(-1,2)=-3$
Il procedimento che ho applicato è giusto? C'è qualche errore?
Risposte
Mi pare tutto corretto (parlo del procedimento, non dei calcoli).
Grazie. Sono i primi esercizi che faccio e volevo essere sicuro del procedimento.
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