Integrale curvilineo del campo gravitazionale
Salve a tutti.
Sto cercando di capire come funzionano gli integrali curvilinei di 2° specie. Ho un problema con il seguente esempio. Sia
$ vec(F)=(F_1;F_2;F_3) $ il campo di forza gravitazionale newtoniano generato da un corpo di massa $m$, che poniamo nell'origine del sistema di assi cartesiani, agente su un corpo puntiforme di massa unitaria posto nel punto $(x; y; z)$. Se $G$ indica la costante di gravitazione universale, allora
$ F_1 =-Gmx/r^3 $, $ F_2 =-Gmy/r^3 $, $ F_3 =-Gmz/r^3 $
$ r=\sqrt(x^2 + y^2 + z^2 $.
Adesso sia $\gamma$ una curva con sostegno in $RR^3$, regolare a tratti, di equazione $vec(r)(t)$ con $t \in [a; b]$. Vogliamo calcolare il lavoro che il campo di forze compie per spostare la particella di massa unitaria da $vec(r)(a)$ ad $vec(r)(b)$ lungo $\gamma$. Si ha pertanto
$L = -Gm*int_(\gamma)^( ) (xdx + ydy + zdz)/r^3$.
E fin qui tutto chiaro. Adesso il libro fa un'osservazione, che non capisco da dove nasce. Gli autori osservano che
$ dr=(1/(\sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))*(xdx + ydy + zdz) $.
Questo è il mio primo dubbio: come dicevo, non capisco da dove nasce quest'osservazione, e inoltre, non capisco che senso abbia quel differenziale $dr$ messo da solo, in un libro di Analisi poi. Tuttavia, prendendo per fede quello che ho appena scritto (ma che ripeto, vorrei capire
) vado avanti con l'esempio. Sostituendo questo $dr$ nell'integrale, si ha
$ L = -Gm*int_(\gamma)^( ) (dr)/r^2 $,
e fin qui ok. Adesso viene il secondo dubbio. Non capisco come si ottiene quest'uguaglianza:
$ L = -Gm*int_(\gamma)^( ) (dr)/r^2 = Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r) $,
dove sembra abbia semplificato la $r$ di $dr$ con quella al quadrato del denominatore (e comunque così non mi spiego dove sia finito il $-$). Inoltre non capisco più cosa sia $d(1/r)$. Di conseguenza è poco chiaro l'ultimo passaggio:
$ Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r) = Gm*int_(a)^(b) d/dt(1/r)dt = Gm(1/r_2 - 1/r_1) $,
dove invece di applicare la definizione di integrale curvilineo di 2° specie, il libro sembra semplicemente moltiplicare e dividere per $dt$.
Qualcuno potrebbe chiarire i dubbi che ho esposto, dal punto di vista matematico (e non fisico) ?
Grazie infinite!
Sto cercando di capire come funzionano gli integrali curvilinei di 2° specie. Ho un problema con il seguente esempio. Sia
$ vec(F)=(F_1;F_2;F_3) $ il campo di forza gravitazionale newtoniano generato da un corpo di massa $m$, che poniamo nell'origine del sistema di assi cartesiani, agente su un corpo puntiforme di massa unitaria posto nel punto $(x; y; z)$. Se $G$ indica la costante di gravitazione universale, allora
$ F_1 =-Gmx/r^3 $, $ F_2 =-Gmy/r^3 $, $ F_3 =-Gmz/r^3 $
$ r=\sqrt(x^2 + y^2 + z^2 $.
Adesso sia $\gamma$ una curva con sostegno in $RR^3$, regolare a tratti, di equazione $vec(r)(t)$ con $t \in [a; b]$. Vogliamo calcolare il lavoro che il campo di forze compie per spostare la particella di massa unitaria da $vec(r)(a)$ ad $vec(r)(b)$ lungo $\gamma$. Si ha pertanto
$L = -Gm*int_(\gamma)^( ) (xdx + ydy + zdz)/r^3$.
E fin qui tutto chiaro. Adesso il libro fa un'osservazione, che non capisco da dove nasce. Gli autori osservano che
$ dr=(1/(\sqrt(x^2 + y^2 + z^2)))*(xdx + ydy + zdz) $.
Questo è il mio primo dubbio: come dicevo, non capisco da dove nasce quest'osservazione, e inoltre, non capisco che senso abbia quel differenziale $dr$ messo da solo, in un libro di Analisi poi. Tuttavia, prendendo per fede quello che ho appena scritto (ma che ripeto, vorrei capire
) vado avanti con l'esempio. Sostituendo questo $dr$ nell'integrale, si ha$ L = -Gm*int_(\gamma)^( ) (dr)/r^2 $,
e fin qui ok. Adesso viene il secondo dubbio. Non capisco come si ottiene quest'uguaglianza:
$ L = -Gm*int_(\gamma)^( ) (dr)/r^2 = Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r) $,
dove sembra abbia semplificato la $r$ di $dr$ con quella al quadrato del denominatore (e comunque così non mi spiego dove sia finito il $-$). Inoltre non capisco più cosa sia $d(1/r)$. Di conseguenza è poco chiaro l'ultimo passaggio:
$ Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r) = Gm*int_(a)^(b) d/dt(1/r)dt = Gm(1/r_2 - 1/r_1) $,
dove invece di applicare la definizione di integrale curvilineo di 2° specie, il libro sembra semplicemente moltiplicare e dividere per $dt$.
Qualcuno potrebbe chiarire i dubbi che ho esposto, dal punto di vista matematico (e non fisico) ?
Grazie infinite!
Risposte
hai che
$xdx+ydy+zdz= vec(r) cdot dvecs=r hatr cdot dvecs $
ma,$hatr cdot dvecs=dr$
per l'altro dubbio,$1/r^2$ è la derivata di $-1/r$
$xdx+ydy+zdz= vec(r) cdot dvecs=r hatr cdot dvecs $
ma,$hatr cdot dvecs=dr$
per l'altro dubbio,$1/r^2$ è la derivata di $-1/r$
$dr$ è un differenziale esatto, dunque
$dr=\frac{\partial r}{\partial x}dx+\frac{\partial r}{\partial y}dy+\frac{\partial r}{\partial z}dz$
Fatti i conti e ti verrà fuori quel prodotto.
Ricorda che $\frac{d(1/r)}{dr}=-1/r^2$ quel meno è stato inglobato dall'integrale per esplicitare la derivata
$dr=\frac{\partial r}{\partial x}dx+\frac{\partial r}{\partial y}dy+\frac{\partial r}{\partial z}dz$
Fatti i conti e ti verrà fuori quel prodotto.
Ricorda che $\frac{d(1/r)}{dr}=-1/r^2$ quel meno è stato inglobato dall'integrale per esplicitare la derivata
@quantunquemente
Ciao! Grazie per aver risposto.
Allora, ieri avevo intuito che si partiva dal prodotto scalare del vettore $vecr = (x; y; z)$ e del vettore "spostamento infinitesimo" $dvec(s) = (dx; dy; dz)$, come hai scritto tu del resto. Però non capisco (o non ricordo il motivo) per il quale
$hatr cdot dvecs=dr$,
dove immagino che $hatr$ sia il versore di $vecr$.
Quindi $d(-1/r) = d/(dr)(-1/r)$, si sono dimenticati la variabile in cui derivare ? O c'è qualche notazione che non conosco ?
@dan95
Ciao, grazie anche a te. Purtroppo non ho ancora affrontato le forme differenziali esatte!
Ciao! Grazie per aver risposto.
"quantunquemente":
hai che
$xdx+ydy+zdz= vec(r) cdot dvecs=r hatr cdot dvecs $
ma,$hatr cdot dvecs=dr$
Allora, ieri avevo intuito che si partiva dal prodotto scalare del vettore $vecr = (x; y; z)$ e del vettore "spostamento infinitesimo" $dvec(s) = (dx; dy; dz)$, come hai scritto tu del resto. Però non capisco (o non ricordo il motivo) per il quale
$hatr cdot dvecs=dr$,
dove immagino che $hatr$ sia il versore di $vecr$.
"quantunquemente":
per l'altro dubbio,$1/r^2$ è la derivata di $-1/r$
Quindi $d(-1/r) = d/(dr)(-1/r)$, si sono dimenticati la variabile in cui derivare ? O c'è qualche notazione che non conosco ?
@dan95
Ciao, grazie anche a te. Purtroppo non ho ancora affrontato le forme differenziali esatte!
$hatr cdot dvecs=dr$ perchè $dr$ è la lunghezza della proiezione di $dvecs$ sulla direzione di $hatr$
poi,$1/r^2dt$ è il differenziale di $-1/r$ (la variabile indipendente è $t$)
quindi,$a$ e $b$ sono rispettivamente gli istanti iniziale e finale
poi,$1/r^2dt$ è il differenziale di $-1/r$ (la variabile indipendente è $t$)
quindi,$a$ e $b$ sono rispettivamente gli istanti iniziale e finale
Mi sfugge ancora questo passaggio:
$ Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r) = Gm*int_(a)^(b) d/dt(1/r)dt $,
non capisco se segue dalla definizione di integrale curvilineo di 1° o 2° specie.
Grazie per la pazienza.
$ Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r) = Gm*int_(a)^(b) d/dt(1/r)dt $,
non capisco se segue dalla definizione di integrale curvilineo di 1° o 2° specie.
Grazie per la pazienza.
up
indipendentemente dal passaggio,se non erro,gli integrali curvilinei dei campi vettoriali sono detti di seconda specie
si, gli integrali curvilinei di campi vettoriali sono quelli di 2° specie
e quindi,scusami,ma sicuramente è un mio limite,non riesco ad afferrare il senso della domanda
Sono io che ho formulato male la domanda. Come faccio a capire se la funzione integranda di
$Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r)$
è quella di un integrale curvilineo di 1° o 2° specie, in modo da poter passare, usando la definizione di uno dei due tipi di integrali curvilinei, a
$Gm*int_(a)^(b) d/dt(1/r)dt$ ?
Cioè, io non riesco ad identificare (capire chi è) quel
$d(1/r)$
all'interno di una delle due definizioni di integrale curvilineo, di modo da poter passare poi, per una di quelle due definizioni, al solito integrale di Riemman in una variabile.
$Gm*int_(\gamma)^( ) d(1/r)$
è quella di un integrale curvilineo di 1° o 2° specie, in modo da poter passare, usando la definizione di uno dei due tipi di integrali curvilinei, a
$Gm*int_(a)^(b) d/dt(1/r)dt$ ?
Cioè, io non riesco ad identificare (capire chi è) quel
$d(1/r)$
all'interno di una delle due definizioni di integrale curvilineo, di modo da poter passare poi, per una di quelle due definizioni, al solito integrale di Riemman in una variabile.
allora,facciamo una cosa : applichiamo la definizione usando direttamente gli estremi $a$ e $b$
una volta che si è parametrizzata la curva : $x=x(t);y=y(t),z=z(t);t in [a,b]$,l'integrale da calcolare è
$ -Gm int_(a)^(b) [(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t))/ (x^2(t)+y^2(t)+z^2(t))^(3/2)]dt $
non è difficile vedere che una primitiva dell'integrando è
$-(x^2(t)+y^2(t)+z^2(t))^(-1/2)=-1/(r(t))$
quindi,l'integrale è uguale a
$-Gm[-1/(r_b)+1/(r_a)]=Gm[1/(r_b)-1/(r_a)]$
in questo modo abbiamo anche sintetizzato la dimostrazione
una volta che si è parametrizzata la curva : $x=x(t);y=y(t),z=z(t);t in [a,b]$,l'integrale da calcolare è
$ -Gm int_(a)^(b) [(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t))/ (x^2(t)+y^2(t)+z^2(t))^(3/2)]dt $
non è difficile vedere che una primitiva dell'integrando è
$-(x^2(t)+y^2(t)+z^2(t))^(-1/2)=-1/(r(t))$
quindi,l'integrale è uguale a
$-Gm[-1/(r_b)+1/(r_a)]=Gm[1/(r_b)-1/(r_a)]$
in questo modo abbiamo anche sintetizzato la dimostrazione
"quantunquemente":
in questo modo abbiamo anche sintetizzato la dimostrazione
Premesso che avresti dovuto scriverlo tu questo esempio del libro, che così è molto più chiaro
(e infatti la tua dimostrazione me la conservo) ...... non è che il libro, in quel passaggio, fa qualche abuso di notazione ? Fino a quel punto, il libro non aveva introdotto le forme differenziali esatte (che ho studiato oggi), e quindi quel $d(1/r)$, che in realtà sarebbe il differenziale di un potenziale, fino a quel punto del libro non avrebbe senso di stare da solo.
sì,forse quel passaggio non è rigoroso perchè si introduce una derivata rispetto a $t$ senza aver prima parametrizzato ed essersi ricondotto ad un integrale tra $a$ e $b$
Il libro scrive $d(1/r)$ invece di $-1/r dr$. Sarà anche un abuso di notazione ma è molto comodo. Le forme differenziali in realtà c'entrano marginalmente, questi sono più che altro dei trucchi per ricordarsi le formule giuste da usare.
D'accordo grazie a tutti per l'aiuto!
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