Integrale curvilineo con teorema di Stokes

[freekiller]

Ciao a tutti, sto trovando non poche difficoltà a impostare e risolvere questo esercizio:
Sia $ S $ la superficie laterale del cilindro $ {y^2+z^2 leq 1; 0leqxleq1 } $ con l'orientazione della normale esterna, e si consideri l'integrale curvilineo di forma differenziale
$ I = int_(partialS^+)^() frac{ydz-zdy}{x^2+y^2+z^2} $.
(a) Calcolare $I$ direttamente, parametrizzando le due componenti di $ \partial S^+ $;
(b) ricalcolare $I$ usando il teorema di Stokes. (Sugg.: riscrivere $I$ come circuitazione del campo associato alla forma differenziale.)

Ora, la parte (a) sono riuscito a risolverla (calcolando i 2 integrali); ma per (b) non riesco a uscirne.
Ho il campo associato alla forma differenziale che è $ vecF=(0,-z,y) $ quindi trovo che $ vec{rotF} =(2,0,0) $.
Ho provato a parametrizzare le 3 facce del cilindro con:
$ sigma_1(u,v)=(u,cosv,sinv), u in [0,1],v in[0,2pi] $
$ sigma_2(u,v)=(0,ucosv,usinv), u in [0,1],v in[0,2pi] $
$ sigma_3(u,v)=(1,ucosv,usinv), u in [0,1],v in[0,2pi] $
e ho trovato le normali $ n_1=(0,-cosv,-sinv) $ , $ n_2=n_3=(u,0,0) $. Poi però non so come procedere.
Qualcuno sa aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Intanto:

Campo vettoriale

$vecF=(-z)/(x^2+y^2+z^2)vecj+y/(x^2+y^2+z^2)veck$

Rotore del campo vettoriale

$vec\nablaxxvecF=(2(-y^2+z^2))/(x^2+y^2+z^2)^2veci+(2xy)/(x^2+y^2+z^2)^2vecj+(2xz)/(x^2+y^2+z^2)^2veck$

Inoltre, poiché il bordo della superficie laterale del cilindro è costituito da due circonferenze:

Circonferenza 1 in senso antiorario (osservatore orientato nel verso dell'asse x)

$[x=0] ^^ [y^2+z^2=1]$

$[x=0] ^^ [y=cost] ^^ [z=sint]$

$[dx=0] ^^ [dy=-sintdt] ^^ [dz=costdt]$

$\int_{0}^{2\pi}(sin^2t+cos^2t)dt=2\pi$

Circonferenza 2 in senso orario (osservatore orientato nel verso dell'asse x)

$[x=1] ^^ [y^2+z^2=1]$

$[x=1] ^^ [y=cost] ^^ [z=sint]$

$[dx=0] ^^ [dy=-sintdt] ^^ [dz=costdt]$

$-1/2\int_{0}^{2\pi}(sin^2t+cos^2t)dt=-\pi$

si ha:

$I=2\pi-\pi=\pi$

Infine, procedendo mediante il teorema di Stokes, è sufficiente calcolare il flusso del rotore attraverso la superficie laterale del cilindro:

Superficie laterale del cilindro

$[x=u] ^^ [y=cosv] ^^ [z=sinv]$

$I=\int_{0}^{1}du\int_{0}^{2\pi}dv(2u)/(u^2+1)^2=\pi$

[freekiller]

Grazie mille, avevo sbagliato a considerare il campo vettoriale. Ora ho capito!