Integrale curvilineo con curva non parametrizzata

[Primavera2]

Salve a tutti, ho fatto esercizi sugli integrali curvilinei ma è la prima volta che mi capita uno di questo tipo e volevo chiedere se il procedimento è esatto:
Mi viene chiesto di calcolare

$ int_(gamma) (xy^4(y^2-2))/(y^2+4)ds $ dove $ gamma -= y^2-xy+4=0 $ tra i punti (4,2) e (5,4)

Allora la prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di riscrivere l'integrale sostituendo il valore della $ x $ dall'equazione di $ gamma $ cioè $ x=(4+y^2)/y $ e poi svolgere come un integrale curvilineo e otterrei:

$ int_(2)^(4) (((4+y^2)/y)y^4(y^2-2)sqrt(1+((2y^2)-(4+y^2))/y^2))/(y^2+4)dy $

dove semplificando il tutto otterrei:

$ sqrt(2) int_(2)^(4) ((y^2-2)sqrt(y^2-2))/ydy $

Non saprei però come risolvere l'ultimo integrale anche se sono molto dubbioso sul mio procedimento...qualche aiuto? Grazie

[magliocurioso]

La curva $\gamma$ di equazione $y^2-xy+4=0$ è un iperbole e dovrebbe essere abbastanza facile riuscire a trovarne una parametrizzazione.

[ciampax]

Provato con la sostituzione: $\sqrt{y^2-2}=y+t$? Oppure puoi pensare all'integrale come uno in forma binomia $\int t^n(a+bt^m)^p\ dt$.

@maglio: sincermanete così su due piedi una parametrizzazione che ti permetta di eliminare la radice non mi viene in mente (anche perché il problema della difficoltà nell'intergale sta tutto là).

[Primavera2]

Ah quindi tutti i passaggi fino all'ultimo integrale sono corretti? Devo solo trovare la sostituzione giusta per l'ultimo integrale in dy?

[ciampax]

Ah no, aspetta, ora che ci penso c'è qualcosa che non quadra: Se la parametrizzazione è

$x={4+y^2}/{y}=4/y+y$

allora

$y'=1,\ x'=1-4/{y^2}$

e quindi

$\sqrt{(x')^2+(y')^2}=\sqrt{1+{16}/{y^4}-8/{y^2}+1}=1/y^2\sqrt{2y^4-8y^2+16}=1/y^2\sqrt{2(y^2-2)^2+8}$

per cui l'integrale mi pare che sia questo:

$\sqrt{2}\int_2^4 y(y^2-2)\sqrt{(y^2-2)^2+4}\ dy$

in cui basta un opportuno cambiamento di variabile per ottenere il risultato.

[Primavera2]

Ah ecco si perchè mi sono scordato il quadrato della seconda derivata xD cmq alla fine credo il procedimento è corretto anche se il risultato finale facendo tutte le sostituzioni per risolvere l'integrale venga un numeraccio tipo:

$ [(y^4-4y^2+8)^(3/2)]_(8)^(200) $ O_O

[ciampax]

Ma l'hai fatta la sostituzione???? Priva a porre $(y^2-2)^2=t$ (e ricordati di modificare gli estremi).

[Primavera2]

Ho svolto i conti e operato la sostituzione e dovrebbe essere dopo aver effettuato la sostituzione:

$ sqrt(2)/4 int_(4)^(196) sqrt(t+4) dt $

poi anche qui opero la sostituzione $ t+4=u $

$ sqrt(2)/4 int_(2sqrt(2))^(sqrt(200)) sqrt(u) du $

e credo siano dei numeracci xD

[ciampax]

Senza le radici: se poni $t+4=u$ allora $t=4\mapsto u=8,\ t=196\mapsto u=200$. E che vuol dire che sono dei numeracci? Non sai fare i calcoli con dei numeri naturali? Ma che volete nella vostra vita? Che vi venga fornita la pappa bella e pronta?