Integrale curvilineo

[Ryuzaky*]

Ciao a tutti!
Ho un problema con il seguente esercizio :
Calcolare la lunghezza della curva intersezione delle curve :
$x^2+y^2=4$ e $z=ln y$ con $y>=1$

Io ho parametrizzato in questo modo, dal momento che $y>0$ pongo :

$x=t$
$y=\sqrt{4-t^2}$
$z=log\sqrt{4-t^2}$

ma ne esce fuori un brutto integrale, non c'è un modo più semplice di risolvere la questione ?

[Sk_Anonymous]

Prova con questa:

$\{(x=+-sqrt(4-e^(2t))),(y=e^t),(z=t):} ^^ [t>=0]$

"Ryuzaky*":
Calcolare la lunghezza della curva intersezione delle curve...

Superfici, non curve.

[Ryuzaky*]

Pardon
In ogni caso anche cosi esce un integrale brutto, è molto simile a quello che è uscito con la mia parametrizzazione solo che al posto del seno che esce nel mio caso mi ritrovo un $e^(2t)$.
Avevo pensato anche a questa :

$x(t)=2p cos t$
$y(t)=2p sin t$ con $pi/6<=t<=5 pi/6$
$z(t)= ln( 2p sin t)$

ma anche cosi l'integrale è complicato.. esce questo :

$\int \sqrt{4+1/(tan^2(x))}$

[Sk_Anonymous]

Tra l'altro, avevo dimenticato una condizione:

$\{(x=+-sqrt(4-e^(2t))),(y=e^t),(z=t):} ^^ [0<=t<=ln2]$

Stiamo parlando di questo:

$2\int_{0}^{ln2}sqrt(e^(4t)/(4-e^(2t))+e^(2t)+1)dt=2\int_{0}^{ln2}sqrt((3e^(2t)+4)/(4-e^(2t)))dt$

Immediato non è, ma una strada, prima o poi, bisogna intraprenderla.

[Ryuzaky*]

A me non sembra cosi immediato :/ anche a giudicare dal risultato di wolfram

Come dovrei procedere ?

[Ryuzaky*]

Ah scusa non avevo visto il commento dopo! cmq va bene grazie mille !

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, non mi sembra molto agevole. Si dovrebbe ricondurre all'integrazione di una funzione irrazionale mediante la sostituzione $[z=e^(2t)]$. Insomma, una seccatura.