Integrale curvilineo
Ciao. Devo risolvere questo esercizio: Sia $ gamma $ l'arco di curva parametrizzata in coordinate polari da $ rho=A theta $ , con $ theta in [0, 4pi ] $ . Calcolare: $ int_(gamma) theta^3 ds $ .
Allora la parametrizzazione in coordinate polari è data da $ { ( x = rho cos theta ),( y = rho sin theta):} $ con $ rho=A theta $. Il determinate dello Jacobiano è $ rho $ ma a questo punto che faccio?
Allora la parametrizzazione in coordinate polari è data da $ { ( x = rho cos theta ),( y = rho sin theta):} $ con $ rho=A theta $. Il determinate dello Jacobiano è $ rho $ ma a questo punto che faccio?
Risposte
Guarda è da tanto che non faccio integrali curvilinei, ti rispondo perchè vedo che non l'ha fatto nessun altro, ma prendi con le pinze quanto scrivo:
${ ( x= A\theta cos \theta ),(y= A\theta sin\theta):}$
Lo jacobiano lo devi considerare come:
$|J| = | ( (del x) / (del A) , (del x) / (del \theta) ),(( del y )/ (del A) , (del y) / (del \theta) ) | = "..." = A \theta^2 $
In tal caso integreremo:
$A int_\gamma \theta^5 d\theta = A/6 [\theta^6]_0^(4\pi)$
Ora.. non sono sicuro di questo risultato.. sia perchè non faccio di questi integrali da un bel pò.. sia perchè quel $\theta^3$ nell'integrale mi stona non poco. Aspetta conferme e, se puoi, controlla che il risultato si esatto.
${ ( x= A\theta cos \theta ),(y= A\theta sin\theta):}$
Lo jacobiano lo devi considerare come:
$|J| = | ( (del x) / (del A) , (del x) / (del \theta) ),(( del y )/ (del A) , (del y) / (del \theta) ) | = "..." = A \theta^2 $
In tal caso integreremo:
$A int_\gamma \theta^5 d\theta = A/6 [\theta^6]_0^(4\pi)$
Ora.. non sono sicuro di questo risultato.. sia perchè non faccio di questi integrali da un bel pò.. sia perchè quel $\theta^3$ nell'integrale mi stona non poco. Aspetta conferme e, se puoi, controlla che il risultato si esatto.
Grazie della risposta. Anche io l'avevo affrontato come hai fatto tu, a parte l'errore nel calcolo del determinante dello Jacobiano, Però mi sembrava una cosa troppo banale. E inoltre anche a me suona molto strano quel $ theta ^3 $ nell'integrale, perchè è come se avesse già introdotto, per metà, la parametrizzazione della curva nella funzione da integrare. Non so se mi sono spiegata.
Guardate che vi state confondendo. Se la curva [tex]$\gamma$[/tex] è data in forma polare [tex]$\rho=f(\theta)$[/tex] allora l'elemento di linea è dato dall'espressione
[tex]$ds=\sqrt{\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2+[f(\theta)]^2}\ d\theta$[/tex]
quindi l'integrale curvilineo di una funzione [tex]$F(\rho,\theta)$[/tex], lungo la curva [tex]$\rho=f(\theta),\ a\leq\theta\leq b$[/tex] è dato da
[tex]$\int_\gamma F(\rho,\theta)\ ds=\int_a^b F(f(\theta),\theta)\ \sqrt{\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2+[f(\theta)]^2}\ d\theta$[/tex]
[tex]$ds=\sqrt{\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2+[f(\theta)]^2}\ d\theta$[/tex]
quindi l'integrale curvilineo di una funzione [tex]$F(\rho,\theta)$[/tex], lungo la curva [tex]$\rho=f(\theta),\ a\leq\theta\leq b$[/tex] è dato da
[tex]$\int_\gamma F(\rho,\theta)\ ds=\int_a^b F(f(\theta),\theta)\ \sqrt{\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2+[f(\theta)]^2}\ d\theta$[/tex]
Ok. Ma la mia funzione integranda è stata già espressa in termini della curva espressa in coordinate polari giusto? Cioè devo solo sostituire il ds e poi svolgere l'integrale?
Esatto.
Grazie ciampax!
"pater46":
Grazie ciampax!
Prego!
Alla fin fine è solo una questione di trovare la "definizione" di un integrale curvilineo del genre. Se parti da quella "paramtrica" e ci ragioni un po' su, facendo un cambiamento di coordinate giusto, è facile vedere che quella che ho scritto io è la definizione di integrale curvilineo nela caso in cui la curva sia espressa in forma polare.
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