Integrale curvilineo

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Cari ragazzi a voi la facile soluzione del seguente integrale:

Integrale tra 0 e P-greca della radice quadrata di 1+(cos(t))^2. Insomma dovrei calcolare la lunghezza della sinusoide tra 0 e P-greca.

[gugo82]

Impara a scrivere in MathML...Non è mai troppo tardi, figurati dopo soli 15 post.

E poi, perchè non provi a postare qualche passaggio?

[minos88]

Forse scritta in questo modo potrebbe risultare di più facile comprensione $\int_{0}^{pi} sqrt(1+cos^2t) dt$

[Covenant]

"grieco.car88":Forse scritta in questo modo potrebbe risultare di più facile comprensione $\int_{0}^{pi} sqrt(1+cos^2t) dt$

non credo esista primitiva elementare, mi da l'impressione di integrale ellittico.

[deserto1]

Salvo errori di calcolo dovrebbe risultare $2sqrt(2)$.
Infatti se effettuiamo la sostituzione $t=tg(x/2)$ si ottiene:

$cos^2t=(1-x^2)/(1+x^2)$ e $dt=(2/(1+x^2))dx$

da cui:

$\int_{0}^{pi}sqrt(1+cos^2t)dt=\int_{0}^{+infty}sqrt(1+(1-x^2)/(1+x^2))*(2/(1+x^2))dx=\int_{0}^{+infty}(2/(1+x^2))^(3/2)dx=2sqrt(2)sqrt((x^2)/(1+x^2))|_{0}^{+infty}$

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"deserto":Salvo errori di calcolo dovrebbe risultare $2sqrt(2)$.
Infatti se effettuiamo la sostituzione $t=tg(x/2)$ si ottiene:

$cos^2t=(1-x^2)/(1+x^2)$ e $dt=(2/(1+x^2))dx$

da cui:

$\int_{0}^{pi}sqrt(1+cos^2t)dt=\int_{0}^{+infty}sqrt(1+(1-x^2)/(1+x^2))*(2/(1+x^2))dx=\int_{0}^{+infty}(2/(1+x^2))^(3/2)dx=2sqrt(2)sqrt((x^2)/(1+x^2))|_{0}^{+infty}$

Forse volevi utilizzare la formula $cost=(1-tg^2(t/2))/(1+tg^2(t/2))$, mi dispiace ma credo che ci sia un errore perchè $2sqrt(2)$ non può essere il risultato dell'integrale di linea.

[Covenant]

come risultato approssimato derive mi da circa 3.820... però non mi calcola esplicitamente l'integrale. Ripeto, secondo me resta così, va approssimato.

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"Covenant":come risultato approssimato derive mi da circa 3.820... però non mi calcola esplicitamente l'integrale. Ripeto, secondo me resta così, va approssimato.

potresti delineare meglio la relazione che scrivi: $cos^2t=(1-x^2)/(1+x^2)$

[deserto1]

E' una formula classica che si trova nei testi di eserciziari di analisi. Se vuoi ti posto i passaggi fondamentali per ricavarla dalla $t=tg(x/2)$. Per quale motivo contesti il risultato $2sqrt(2)$?

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[quote=deserto]E' una formula classica che si trova nei testi di eserciziari di analisi. Se vuoi ti posto i passaggi fondamentali per ricavarla dalla $t=tg(x/2)$. Per quale motivo contesti il risultato $2sqrt(2)$?[/quote

Considera i due triangoli rettangoli inscritti nella regione di piano delimitata dalla sinusoide e l'asse x, con cateto comune passante per il punto $(pi/2,0)$. La somma delle lunghezze delle due ipotenuse è una stima per difetto della lunghezza della curva, tale valore supera il valore da te determinato. Concordi su quello che dico? E poi, scusami se insisto non è che ti confondi con la relazione $cost=(1-tg^2(t/2))/(1+tg^2(t/2))$ e quindi $cost=(1-x^2)/(1+x^2)$ ponendo x=tg($t/2$)

[deserto1]

Si, ammetto di avere erroneamente elevato al quadrato il coseno, quindi la formula risulta essere
$cos(t)=(1-x^2)/(1+x^2)$
Adesso riprovo a fare i calcoli.

[weblan]

Postare tutti i passaggi sarà difficile almeno per me per via della scrittura, è possibile comunque stimare il suo valore attraverso una serie a termini positivi convergente. Se qualcuno potrebbe riflettere e suggerire qualche parametrizzazione della curva che porti ad un integrale più semplice e non passare per la risoluzione di un integrale ellitico di II specie.