Integrale Curvilineo
Ciao, volevo chiedervi una cosa che non ho ben capito riguardo un esercizio che la prof ha velocemente proposto in classe. Ha detto di calcolare l'integrale curvilineo della forma $omega=-y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy$ lungo il triangolo in figura
sapendo che l'integrale della stessa forma calcolato lungo la circonferenza unitaria è $2pi$ e ha detto anche che sapendo questo dovremmo capire quanto vale l'integrale senza fare nemmeno un calcolo
Solo che non ho ben capito il perchè..
sapendo che l'integrale della stessa forma calcolato lungo la circonferenza unitaria è $2pi$ e ha detto anche che sapendo questo dovremmo capire quanto vale l'integrale senza fare nemmeno un calcolo
Solo che non ho ben capito il perchè..
Risposte
le misure del triangolo?
prova a vedere se la forma è esatta con il metodo del rotore... se cosi fosse, e se il triangolo è inscritto in un cerchio unitario come parrebbe, il problema è banale
ciao, è un classico
è una applicazione immediata del teorema di Green
immagina che la cfr unitaria sia interna al triangolo
allora la cfr unitaria e il trianglo sono, prese assieme, il bordo della figura che ne viene fuori
ma la forma data è chiusa, quindi l'integrale doppio ti viene 0
e allora l'integrale sul bordo vale zero
e quindi quello sul triangolo è uguale a quello sulla cfr (ricorda che le due curve, viste come bordo, sono orientate in modo opposto)
ho scritto un po' "a spanne", ma penso ti sia chiara l'idea
è una applicazione immediata del teorema di Green
immagina che la cfr unitaria sia interna al triangolo
allora la cfr unitaria e il trianglo sono, prese assieme, il bordo della figura che ne viene fuori
ma la forma data è chiusa, quindi l'integrale doppio ti viene 0
e allora l'integrale sul bordo vale zero
e quindi quello sul triangolo è uguale a quello sulla cfr (ricorda che le due curve, viste come bordo, sono orientate in modo opposto)
ho scritto un po' "a spanne", ma penso ti sia chiara l'idea
esatta=chiusa, mi correggo per l'imprecisione
un commento a inmytime:
la forma è chiusa ma non esatta (è il solito "campo magnetico")
altro commento:
giustamente inmytime si pone il problema se la cfr sia dentro al triangolo (cosa che ho bypassato allegramente)
se la cfr non sta dentro al triangolo, ne usi una molto grossa che sta fuori, come intermediaria...
la forma è chiusa ma non esatta (è il solito "campo magnetico")
altro commento:
giustamente inmytime si pone il problema se la cfr sia dentro al triangolo (cosa che ho bypassato allegramente)
se la cfr non sta dentro al triangolo, ne usi una molto grossa che sta fuori, come intermediaria...
@luca: le misure non erano date.
@Inmytime: non ho fatto il metodo del rotore, e come detto da Fioravante la forma è chiusa ma non esatta.
@Fioravante: non ho fatto il teorema di Green anche se mi sembra di ricordare che per arrivare alla conclusione alla quale sei arrivato tu un amico mi avesse detto che si poteva considerare il triangolo inscritto nella cfr di raggio unitario e pensare le 2 curve come 2 curve omotope, lungo le quali quindi l'integrale della forma veniva uguale. E' giusto lo stesso come ragionamento?
@Inmytime: non ho fatto il metodo del rotore, e come detto da Fioravante la forma è chiusa ma non esatta.
@Fioravante: non ho fatto il teorema di Green anche se mi sembra di ricordare che per arrivare alla conclusione alla quale sei arrivato tu un amico mi avesse detto che si poteva considerare il triangolo inscritto nella cfr di raggio unitario e pensare le 2 curve come 2 curve omotope, lungo le quali quindi l'integrale della forma veniva uguale. E' giusto lo stesso come ragionamento?
Consentimi una divagazione umoristica.
Poichè il risultato è noto senza fare alcun calcolo, o è $0$ o è $2 \pi$.
Se fosse $0$, non occorrerebbe conoscere il valore dell'integrale sulla circonferenza unitaria, quindi è $2 \pi$.
Poichè il risultato è noto senza fare alcun calcolo, o è $0$ o è $2 \pi$.
Se fosse $0$, non occorrerebbe conoscere il valore dell'integrale sulla circonferenza unitaria, quindi è $2 \pi$.
"Dust":
non ho fatto il teorema di Green anche se mi sembra di ricordare che per arrivare alla conclusione alla quale sei arrivato tu un amico mi avesse detto che si poteva considerare il triangolo inscritto nella cfr di raggio unitario e pensare le 2 curve come 2 curve omotope, lungo le quali quindi l'integrale della forma veniva uguale. E' giusto lo stesso come ragionamento?
sì, giusto
Ok, grazie irenze.
@cmax: proverò a dire alla prof così. Magari ci ride sopra anche lei
Ciao
@cmax: proverò a dire alla prof così. Magari ci ride sopra anche lei
Ciao
"Dust":
@Fioravante: non ho fatto il teorema di Green anche se mi sembra di ricordare che per arrivare alla conclusione alla quale sei arrivato tu un amico mi avesse detto che si poteva considerare il triangolo inscritto nella cfr di raggio unitario e pensare le 2 curve come 2 curve omotope, lungo le quali quindi l'integrale della forma veniva uguale. E' giusto lo stesso come ragionamento?
è sostanzialmente equivalente
in effetti l'idea può anche essere quella di "deformare" il triangolo nella circonferenza unitaria
cosa possibile, senza rischiare di essere "intralciati" dalla "singolarità" (mi riferisco al fatto che il tuo campo vett/forma diff non è definito in (0,0))
Va bene che data un forma differenziale $omega$, se questa è chiusa e l'insieme su cui è definito il campo che compone la forma è semplicemente connesso la forma è esatta.
MA se l'insieme di cui parlavo sopra non fosse semplicemente connesso, posso a priori scartare il fatto che la forma sia esatta?
MA se l'insieme di cui parlavo sopra non fosse semplicemente connesso, posso a priori scartare il fatto che la forma sia esatta?
"Dust":
MA se l'insieme di cui parlavo sopra non fosse semplicemente connesso, posso a priori scartare il fatto che la forma sia esatta?
NO
Esempio: la forma $x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2) dy$ è chiusa e anche esatta la primitiva è $1/2 ln(x^2+y^2)$ (non giurerei sulla costante, ho fatto un po' a intuito).
Se vuoi sapere perché so che una è esatta e l'altra no...
La forma che hai postato tu è la forma "$d\theta$", che ovviamente non è esatta su una curva che gira intorno all'origine (l'angolo "scatta" di $2\pi$ ogni volta che fai un giro), mentre quella che ho postato io è $d ln(\rho)$, che è esatta (il modulo non salta su una curva che gira intorno all'origine).
Se guardi in campo complesso la forma $d ln(\rho) + i d\theta$, stai considerando la forma $d ln(z)$ ($z = \rho * e^(i\theta)$), che non è esatta su tutto $CC = RR^2$.
La forma che hai postato tu è la forma "$d\theta$", che ovviamente non è esatta su una curva che gira intorno all'origine (l'angolo "scatta" di $2\pi$ ogni volta che fai un giro), mentre quella che ho postato io è $d ln(\rho)$, che è esatta (il modulo non salta su una curva che gira intorno all'origine).
Se guardi in campo complesso la forma $d ln(\rho) + i d\theta$, stai considerando la forma $d ln(z)$ ($z = \rho * e^(i\theta)$), che non è esatta su tutto $CC = RR^2$.
Allora avevo intuito giusto. Grazie della spiegazione(anche se preferisco la 1° alla 2° che mi hai dato che ora come ora mi sembra ancora criptica 
)
)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo