Integrale curvilineo
Salve a tutti!
Sto svolgendo questo integrale curvilineo ma non riesco a procedere oltre nei calcoli. L'esercizio è il seguente:
Calcolare l'integrale curvilineo
$int_(\deltaD) ||y|-1|ds$, dove D è il dominio piano delimitato dall'arco di cicloide: $ \gamma(t): x=t-sint,y=1-cost$
con $0<=t<=2\pi$.
Mi sono calcolato il ds e ottengo: $ds=sqrt(2)sqrt(1-cost) dt$
Sostituendo nell'integrale:
$sqrt(2)int_0^(2pi) ||1-cost|-1|sqrt(1-cost) dt$.
Ora però ho dei dubbi per quanto riguarda il calcolo dei moduli. Dovrei studiare prima $|1-cost|$ e ho un solo risultato, per l'appunto $1-cost$ poiché l'altra condizione non è mai verificata. Quindi avrò:
$sqrt(2)int_0^(2pi) |-cost|sqrt(1-cost) dt \Rightarrow 4sqrt(2)int_0^(pi/2) costsqrt(1-cost) dt $
Non so se è corretto, ma se anche lo fosse non saprei come procedere con l'integrale.
Potreste aiutarmi? grazie
Sto svolgendo questo integrale curvilineo ma non riesco a procedere oltre nei calcoli. L'esercizio è il seguente:
Calcolare l'integrale curvilineo
$int_(\deltaD) ||y|-1|ds$, dove D è il dominio piano delimitato dall'arco di cicloide: $ \gamma(t): x=t-sint,y=1-cost$
con $0<=t<=2\pi$.
Mi sono calcolato il ds e ottengo: $ds=sqrt(2)sqrt(1-cost) dt$
Sostituendo nell'integrale:
$sqrt(2)int_0^(2pi) ||1-cost|-1|sqrt(1-cost) dt$.
Ora però ho dei dubbi per quanto riguarda il calcolo dei moduli. Dovrei studiare prima $|1-cost|$ e ho un solo risultato, per l'appunto $1-cost$ poiché l'altra condizione non è mai verificata. Quindi avrò:
$sqrt(2)int_0^(2pi) |-cost|sqrt(1-cost) dt \Rightarrow 4sqrt(2)int_0^(pi/2) costsqrt(1-cost) dt $
Non so se è corretto, ma se anche lo fosse non saprei come procedere con l'integrale.
Potreste aiutarmi? grazie
Risposte
Ciao Dr.Hermann,
Se l'integrale è corretto, ma direi di no, proverei con l'identità $1 - cos t = 2 sin^2(t/2) $
Mi risulta
$\int_0^(\pi/2) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t = 2/3 (2 - \sqrt2) $
Tenendo conto che $|cos t| = {(cos t \text{ per } 0 \le t \le \pi/2 \text{ e per } (3\pi)/2 \le t \le 2\pi),(- cos t \text{ per } pi/2 < t \le \pi \text{ e per } \pi < t < (3\pi)/2):}$, si ha:
$\sqrt2 \int_0^{2\pi} |cos t| \sqrt(1-cos t) \text{d}t = \sqrt2[\int_0^(\pi/2) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t - \int_(\pi/2)^(\pi) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t + $
$ - \int_(\pi)^((3\pi)/2) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t + \int_((3\pi)/2)^(2\pi) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t] = $
$ = \sqrt2[2/3 (2 - \sqrt2) + 4/3 + 4/3 + 2/3 (2 - \sqrt2)] = \sqrt2[4/3 (2 - \sqrt2) + 8/3] = (4\sqrt2)/3 (4 - \sqrt2) = $
$ = (16\sqrt2 - 8)/3 $
Se l'integrale è corretto, ma direi di no, proverei con l'identità $1 - cos t = 2 sin^2(t/2) $
Mi risulta
$\int_0^(\pi/2) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t = 2/3 (2 - \sqrt2) $
Tenendo conto che $|cos t| = {(cos t \text{ per } 0 \le t \le \pi/2 \text{ e per } (3\pi)/2 \le t \le 2\pi),(- cos t \text{ per } pi/2 < t \le \pi \text{ e per } \pi < t < (3\pi)/2):}$, si ha:
$\sqrt2 \int_0^{2\pi} |cos t| \sqrt(1-cos t) \text{d}t = \sqrt2[\int_0^(\pi/2) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t - \int_(\pi/2)^(\pi) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t + $
$ - \int_(\pi)^((3\pi)/2) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t + \int_((3\pi)/2)^(2\pi) cos t \sqrt(1-cos t) \text{d}t] = $
$ = \sqrt2[2/3 (2 - \sqrt2) + 4/3 + 4/3 + 2/3 (2 - \sqrt2)] = \sqrt2[4/3 (2 - \sqrt2) + 8/3] = (4\sqrt2)/3 (4 - \sqrt2) = $
$ = (16\sqrt2 - 8)/3 $
Ciao Pilloeffe e grazie per avermi risposto!
Riguardo all tua idea di considerare $1-cosx= 2sin^2(t/2)$ se potessi mettermi giusto un paio di passaggi su come sei giunto al risultato te ne sarei grato. Perché mi sto intrecciando un po con i calcoli.
Riguardo all tua idea di considerare $1-cosx= 2sin^2(t/2)$ se potessi mettermi giusto un paio di passaggi su come sei giunto al risultato te ne sarei grato. Perché mi sto intrecciando un po con i calcoli.
"Dr.Hermann":
Ciao Pilloeffe e grazie per avermi risposto!
Prego!
Beh, una volta fatto uso della formula di bisezione del seno $1-cos t= 2sin^2(t/2) $, si ottiene un integrale indefinito del tipo seguente:
$\sqrt2 \int sin(t/2) cos t \text{d}t $
A questo punto si può fare uso della prima formula di Werner
$ sin\alpha cos\beta = 1/2 [sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)] $
con $\alpha := t/2 $ e $\beta := t $ ottenendo così
$ \sqrt2 \int sin(t/2) cos t \text{d}t = \sqrt2 [cos(t/2) - 1/3 cos((3 t)/2)] + c $
Osserva poi che si ha:
$\sqrt{1 - cos t} = \sqrt{2 sin^2 (t/2)} = \sqrt{2}|sin(t/2)| = \sqrt{2} sin(t/2) \text{ per } 0 \le t/2 \le \pi \iff 0 \le t \le 2\pi $
Ook perfetto, grazie mille!
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