Integrale curvilineo

[davidcape1]

Determinare l'area della regione di piano (x,y) limitata dall'asse X e dalla curva $ rho =cos(2vartheta ) , vartheta in [0,pi /4] $

-Non so come partire . L'asse delle x in cordinate polari la posso esprimere come $ rho*cos(vartheta )$ giusto? Non capisco come impostare l'integrale.

[davidcape1]

Intanto ti ringrazio molto per avermi risposto. Poi ti chiedo: ma i differenziali come diventano?
Integro $ gamma (1) $ $ dvartheta $ e $ gamma (2) $ in $ dt $ ?
Cioè
$ 1/2 int_(0)^(pi/4) (cos(2vartheta)*cos(vartheta)-cos(2vartheta)*sin(theta)) dvartheta $

e

$ 1/2 int_(0)^(1) t dt $ ? E poi li sommo? Spero di no perchè il primo integrale è un po' bruttino....

[davidcape1]

"TeM":[quote="davidcape"]Ma i differenziali come diventano?

Bada bene che se \(x = f(\xi)\) allora \(\text{d}x = f'(\xi)\,\text{d}\xi\), quindi...[/quote]
cioè dovrei fare la derivata prima di x espresso in coordinate polari? Non ci hanno spiegato nulla a lezione su questo tipo di esercizi.

[davidcape1]

Verrebbe $ D=1/2*int_(0)^(pi/4) [cos(2vartheta)*cos(vartheta)*(-2sin(2vartheta)*sin(vartheta)+cos(2vartheta)*cos(vartheta))]-[cos(2vartheta)*sin(vartheta)*(-2sin(2vartheta)*cos(vartheta)-cos(2vartheta)*sin(vartheta))] dvartheta $

perchè sull'altra parte di curva viene 0. E ora con questo integralaccio inguardabile cosa ci faccio? A parte le battute, ci sono suggerimenti per svolgerlo? Svolgo i prodotti? Mi fa paura solo a guardarlo

EDIT:
svolgendo i prodotti e raggruppando arrivo ad una forma più umana
$ D=1/2int_(0)^(pi/4) cos^2(2vartheta) dvartheta $

[davidcape1]

Mentre mi rispondevi stavo scrivendo! GRAZIE MILLE!!!!

L'ultima cosa su questo esercizio....

$ int_(0)^(pi/4) cos^2(2vartheta) dvartheta $ c'è un modo "rapido" per farlo ed è quello di sfruttare le potenze di funzioni trigonometriche. Infatti $ cos^2(vartheta)=1/2(1+cos(2vartheta)) $ e quindi $ cos^2(2vartheta)=1/2(1+cos(4vartheta)) $