Integrale curvilineo (1°-2° specie)

[checco4]

Ciao a tutti,
volevo un piccolo chiarimento a proposito di integrali curvilinei o anche qualche link che mi auti a chiarire i miei dubbi...

Il mio dubbio è a che cosa servono? Che cosa ottengo? Ho chiaro come fare a calcolare la lunghezza di una curva (in questo caso l'obiettivo è chiaro)... ma non capisco "graficamente" quale area ottengo da un integrale curvilineo di 1° specie e cosa da uno di 2° specie.

Spero di essermi spiegato, non sono interessato alle fermule risolutive, ma al contenuto che ci sta dietro...
Grazie,
CHECCO.

[alastor1]

allora l'integrale curvilineo non da un area!!! parametrizzando la curva generi la cosiddetta ascissa curvilinea, tanto cara a fisica 1, e facendo l'integrale curvilineo di una curva da A a B misuri la lungezza della curva da F(A) a F(B), con F la funzione (o mappa), che traccia il sostegno della curva (cioè il disegno della curva su R^n)
se ci pensi su come è definito l'integrale curvilineo (cioè la somma infinitesima delle derivate della curva, cioè dei segmentini tangenti) è evidente..

in parole povere vedi quanto è lunga una curva

[alastor1]

a mentre per gli integrali curvilinei di seconda specie (cioè integrazione di 1-forme differenziali) la cosa si fa bella complicata.. comunque in fisica si usano per calcolare lavoro, variazioni di energia, circuitazioni ecc ecc...

ad esempio al potenziale gravitazionale si associa P = m g h, si associa la forma differenziale dP= m g dh, se tu fai l'integrale di seconda specie su questa forma differenziale cacoli la variazione di potenziale dall'inizio alla fine del percoso..
per approfondimenti guarda sull' Apostol III o sul Gilardi 2

[GIOVANNI IL CHIMICO]

In realtà nmon è nulla di complicato...basta definire l'elememto infinitesimo di superficie ds, inparticolare se nel nostro spazio vale la metrica euclidea, ossia la norma dei vettori si fa con il teo di pitagora, se un generico punto della curva è rappresentato da vettore posizione r,funzione di t, si ha che dS/dt=|r'| e quindi dS=|r'|dt
per integrare una 1 forma, il metodo è idfentico, infatti sia dx il generico differenziale rispetto a cui bisogna condurre l'integrazione, allora dx/dt=x' e dx=x'dt....a questo punto si fa il corretto cambio di estremi di integrazione e si integra.
Cmq se facciamo l'integrale di dS troviamo un'area sul piano t,S....

[alastor1]

io mi riferivo in genrale alla teoria delle k-forme , che sinceramente non è molto chiara.. (a partire dai k- covettori)

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Guarda secondo me si possono benissimo introdurre gli integrali curvilinei di 2 specie senza passare attravero le k forme,che spesso ad analisi non vengono fatte, sempliciemente dalla definizione di lavoro....Tra l'altro molti matematici ritengono le k forme un semplice formalismo, povero di significato reale...di altro avviso sono i fisici.