Integrale cosx/(cosx+1)

[l0r3nzo1]

Ciao a tutti,
sto integrando questo integrale: $int cosx/(cosx+1)$

inizialmente pongo $cosx=(1-tg^2x/2)/(1+tg^2x/2)$ ponendo poi $t=tgx/2$ trovo $x=2arctant$ e $dt=1/(1+t^2)$.

a questo punto sostituisco e dopo tutti i calcoli viene: $int (1-t^2)/(1+t^2)$.

A questo punto mi son bloccato. Dopo qualche tentativo però trovo che

$int (1-t^2)/(1+t^2)$ = $int(-(t^2+1) +2)/(t^2+1)$ , ovvero: $int -1$ + $int 2/(t^2+1)$

A questo punto applicherei la decomposizione di hermite solo che il risultato che mi viene è:

$ln|t-1| - ln|t+1| - x + k $ mentre il risultato sugli appunti è completamente diverso, ovvero :

$(xcosx-senx+x)/(cosx+1) + k$

C'è qualcuno che potrebbe spiegarmi dove sbaglio? grazie.

[Mascaretti]

ovvero: $ int -1 dt + int frac 2 (t^2 + 1) dt$

A questo punto applicherei la decomposizione di hermite solo che il risultato che mi viene è:

$ln|t−1|−ln|t+1|−x+k$

Premettendo che non so cosa sia la decomposizione di hermite, credo che ci sia un errore qua: $int -1 dt = -t != -x $. Poi non è più semplice vedere $int frac 2 (t^2 + 1) dt = 2 arctan t$? Vista la tua sostituzione, dovrebbe aiutarti.

[l0r3nzo1]

"Mascaretti":
Premettendo che non so cosa sia la decomposizione di hermite, credo che ci sia un errore qua: $int -1 dt = -t != -x $. Poi non è più semplice vedere $int frac 2 (t^2 + 1) dt = 2 arctan t$? Vista la tua sostituzione, dovrebbe aiutarti.

no devo usare quel procedimento per prenderci la mano, quindi non devo scomporre in altra maniera.

Per quel che hai segnalato tu, nel mio svolgimento infatti è $-x$ ma probabilmente nella soluzione generale sarà stato raccolto un - e quindi il segno sarà cambiato, non so.

[Mascaretti]

nel mio svolgimento infatti è $−x$

Appunto, non dovrebbe essere $-t$, invece?
Forse ho capito cosa intendi per decomposizione di hermite: vuoi scomporre $frac 2 (t^2 + 1) $ come somma di due quantità da integrare separatamente?
Se è questo che vuoi fare, non è possibile in $RR$, dato che $t^2+1$ non è scomponibile (sicuramente non in $ (t+1)(t-1)$, come sembra tu abbia fatto nel tuo procedimento dato che ci sono quei logaritmi).

[Giuly191]

"l0r3nzo":ovvero: $int -1$ + $int 2/(t^2+1)$

Qui avevi praticamente finito, dopo non so che hai combinato. L'integrale che hai cercato di scomporre è immediato, la derivata dell'arcotangente è..
Se poi sostituisci ti torna una primitiva molto semplice, che in nessun modo mi pare avvicinarsi a quella che risultava dai tuoi appunti. Magari con qualche formula trigonometrica, ma ne dubito.

[l0r3nzo1]

"Mascaretti":
Appunto, non dovrebbe essere $-t$, invece?

Si hai ragione, è un errore.

"Mascaretti":
Forse ho capito cosa intendi per decomposizione di hermite: vuoi scomporre $frac 2 (t^2 + 1) $ come somma di due quantità da integrare separatamente?
Se è questo che vuoi fare, non è possibile in $RR$, dato che $t^2+1$ non è scomponibile (sicuramente non in $ (t+1)(t-1)$, come sembra tu abbia fatto nel tuo procedimento dato che ci sono quei logaritmi).

accidenti, altro errore... nel pomeriggio riprovo a rifare questo integrale, grazie.