Integrale convergente ma non assolutamente

[gang_88]

qualcuno mi sa spiegare perche l integrale da 1 a piu infinito di senx diviso x e convergente ma non assolutamente convergente? grazie

[gugo82]

"gang_88":qualcuno mi sa spiegare perche l integrale da 1 a piu infinito di senx diviso x e convergente ma non assolutamente convergente? grazie

La convergenza dell'integrale $\int_1^(+oo)(sin x)/x " d"x$, ossia l'esistenza del limite $lim_(r to +oo) \int_1^r (sin x)/x " d"x$, si prova con l'uso di tecniche non elementari (Teoria dei Residui e teoremini di Analisi Complessa).
Il fatto che l'integrale non sia assolutamente convergente è, invece, banale.
Ricordo che un integrale improprio del tipo $\int_a^(+oo)f(x) " d"x$ si dice assolutamente convergente se esiste finito lo $\int_a^(+oo)|f(x)| " d"x=lim_(r to +oo)\int_a^r |f(x)| " d"x$. Nel nostro caso, scegliendo di far variare $r$ tra gli elementi della successione di termine generale $npi$, $n in NN$, troviamo:

$\int_1^(npi) (|sin x|)/x" d"x= \int_1^pi (sinx)/x " d"x + \sum_(k=2)^n\int_((k-1)pi)^(kpi) (|sin x|)/x" d"xge$
$quad quad quad quad ge \sum_(k=2)^n \int_0^pi (|sin (t+(k-1)pi)|)/(t+(k-1)pi)" d"t=\sum_(k=2)^n \int_0^pi (|sin t|)/(t+(k-1)pi)" d"t ge$
$quad quad quad quad ge \sum_(k=2)^n \int_0^pi (|sin t|)/(kpi)" d"t=\sum_(k=2)^n 1/(kpi)*\int_0^pi |sin t|" d"t=\sum_(k=2)^n 1/(kpi)*\int_0^pi sin t" d"t=2/pi*\sum_(k=2)^n 1/k quad$;

quindi risulta:

$AA n in NN, quad \int_1^(npi) (|sin x|)/x" d"xge 2/pi*\sum_(k=2)^n 1/k quad => quad \int_1^(+oo)|sin x|/x" d"x=lim_(n to +oo) \int_1^(npi) (|sin x|)/x" d"x ge 2/pi*\sum_(k=2)^(+oo) 1/k$.

Poichè la serie a secondo membro nell'ultima disuguaglianza è ottenuta dalla serie armonica sopprimendone il primo termine si ha $\sum_(k=2)^(+oo) 1/k =+oo$ e pertanto l'integrale improprio di $|sin x|/x$ non può esistere finito.
Da ciò segue che l'integrale assegnato non è assolutamente convergente, pur convergendo semplicemente.

[gang_88]

ok! grazie mille per la spiegazione! non e che potresti dare un occhiata anke al mio altro post calcolo delle probabilita soprattutto il punto 2! grazie ancora

[Fioravante Patrone1]

Piccola nota.

Che l'integrale di cui si parla sia convergente può essere provato ricorrendo ad una integrazione per parti.
Vedasi pag. 2 di:
http://www.mat.unisi.it/matdid/960.pdf

[gugo82]

"Fioravante Patrone":Piccola nota.

Che l'integrale di cui si parla sia convergente può essere provato ricorrendo ad una integrazione per parti.
Vedasi pag. 2 di:
http://www.mat.unisi.it/matdid/960.pdf

Giusto!
Ieri non ci avevo pensato. Grazie FP.

Una piccola nota.
La divergenza dell'integrale di $|sin x|/x$ segue dalla minorazione a fondo di pag. 2 perchè $1/(2x)$ ha integrale divergente, ma è importante notare anche che $(cos2x)/x$ ha integrale convergente in $[2pi,+oo[$ (la prova di questo fatto si può fare con un integrazione per parti, come già fatto per il $(sinx)/x$): infatti se lo $\int_(2pi)^(+oo) (cos2x)/x " d"x$ non fosse finito, allora la differenza $\int_(2pi)^(+oo)1/(2x)" d"x-\int_(2pi)^(+oo) (cos2x)/x " d"x$ si presentarebbe in forma indeterminata e sarebbe più difficile concludere la dimostrazione solo attraverso la minorazione.