Integrale convergente aiuto
Salve , sn dinuovo in difficolta su questo esercizio , l'ho provatoa fare ma con molta fantasia...
Il testo è: Stabilire , motivando la risposta se converge l'integrale;
$\int_1^infty (x^2 e^(1/x))/(sqrt(x^9+5))dx$
Io l'ho provatoa fare nel seguente modod:
ho fatto il limite che tende a infinito per vedere se è=0 in questo caso lo è;
poi ho svolto l'integrale ma mi viene $infty$ quindi non è convergente ...giusto o ho fatto una sciocchezza?
Grazie
Il testo è: Stabilire , motivando la risposta se converge l'integrale;
$\int_1^infty (x^2 e^(1/x))/(sqrt(x^9+5))dx$
Io l'ho provatoa fare nel seguente modod:
ho fatto il limite che tende a infinito per vedere se è=0 in questo caso lo è;
poi ho svolto l'integrale ma mi viene $infty$ quindi non è convergente ...giusto o ho fatto una sciocchezza?
Grazie
Risposte
In che modo hai svolto l'integrale? Credo che qui tu debba solo stabilire se l'integrale converge o meno utilizzando i confronti asintotici. Mi è difficile credere che tu abbia effettivamente determinato il valore dell'integrale.
io ho fatto il limite che tende a infito , e vedo che è =0 in questo modo:
( ho visto quale è "più veloce") $\lim_{n \to \infty}x^2/x^3$ segue che $1/x=0$
poi nn capito bene cosa devo fare, mi puoi far vedere i passaggi grazie 1000
( ho visto quale è "più veloce") $\lim_{n \to \infty}x^2/x^3$ segue che $1/x=0$
poi nn capito bene cosa devo fare, mi puoi far vedere i passaggi grazie 1000
mmm il limite dovrebbe essere: $lim_{x->\infty} x^2/(x^(9/2))=0$. Comunque io intendevo dire che la funzione integranda si comporta come $x^2/(x^(9/2))=1/x^(5/2)$ per $x->\infty$ quindi possiamo concludere che...
Prova a ragionarci su
Prova a ragionarci su
non è convergente perchè viene infinito , invece se usciva un numero era convergente giusto? oppure ho detto una ca***ta?
Ok, andiamo per ordine:
1. Gli integrali che si presentano nella forma:
$\int_a^{+\infty} 1/x^\alpha dx$ con $a>0$
•convergono se $\alpha>1$
•divergono se $\alpha<=1$
Questo tipo di integrali sono detti integrali di funzioni campione.
2.: Siano $f$ e $g$ due funzioni tali che $f(x)~g(x)$ per $x->+\infty$ allora i due integrali impropri:
$\int_a^{+\infty} f(x)dx $ e $\int_a^{+\infty} g(x)dx$ hanno lo stesso comportamento, cioè entrambi divergono oppure entrambi convergono.
Detto questo, ritorniamo all'esercizio.
Come ho già detto la funzione integranda $f(x)= {x^2 e^(1/x)}/\sqrt(x^9+5)$ si comporta come $g(x)=1/x^(5/2)$ per $x->+\infty$, infatti il limite:
$lim_{x->\infty} f(x)/g(x)=1$.
Per 2. abbiamo che $\int_1^\infty f(x)dx$ e $\int_1^\infty g(x)dx$ hanno lo stesso comportamento. Prendiamo in esame ora:
$\int_1^\infty g(x)dx = \int_1^\infty 1/x^(5/2)dx$
Questo è un integrale campione (vedi 1.), in questo caso $\alpha = 5/2>1$ e dunque...(Ragiona). Assodato questo possiamo asserire che l'integrale $\int_1^\infty f(x)dx$ ....(Ragiona).
Un consiglio da amico, studia bene la teoria da un buon libro. La matematica non è fatta di soli esercizi.
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1. Gli integrali che si presentano nella forma:
$\int_a^{+\infty} 1/x^\alpha dx$ con $a>0$
•convergono se $\alpha>1$
•divergono se $\alpha<=1$
Questo tipo di integrali sono detti integrali di funzioni campione.
2.: Siano $f$ e $g$ due funzioni tali che $f(x)~g(x)$ per $x->+\infty$ allora i due integrali impropri:
$\int_a^{+\infty} f(x)dx $ e $\int_a^{+\infty} g(x)dx$ hanno lo stesso comportamento, cioè entrambi divergono oppure entrambi convergono.
Detto questo, ritorniamo all'esercizio.
Come ho già detto la funzione integranda $f(x)= {x^2 e^(1/x)}/\sqrt(x^9+5)$ si comporta come $g(x)=1/x^(5/2)$ per $x->+\infty$, infatti il limite:
$lim_{x->\infty} f(x)/g(x)=1$.
Per 2. abbiamo che $\int_1^\infty f(x)dx$ e $\int_1^\infty g(x)dx$ hanno lo stesso comportamento. Prendiamo in esame ora:
$\int_1^\infty g(x)dx = \int_1^\infty 1/x^(5/2)dx$
Questo è un integrale campione (vedi 1.), in questo caso $\alpha = 5/2>1$ e dunque...(Ragiona). Assodato questo possiamo asserire che l'integrale $\int_1^\infty f(x)dx$ ....(Ragiona).
Un consiglio da amico, studia bene la teoria da un buon libro. La matematica non è fatta di soli esercizi.
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