Integrale convergente
$\int_0^\infty(1-2x-2x^2)e^-xdx$
secondo voi come capire se l'integrale converge?
Noto che a $+\infty$ il polinomio $1-2x-2x^2$ potremmo considerarlo come $-2x^2/e^x$ quindi non rimane che applicare l'assoluta convergenza visto che abbiamo un valore negativo.
Il limite è uguale a $0$ ma non capisco quale criterio/modalità applicare per dimostrare che converge.
secondo voi come capire se l'integrale converge?
Noto che a $+\infty$ il polinomio $1-2x-2x^2$ potremmo considerarlo come $-2x^2/e^x$ quindi non rimane che applicare l'assoluta convergenza visto che abbiamo un valore negativo.
Il limite è uguale a $0$ ma non capisco quale criterio/modalità applicare per dimostrare che converge.
Risposte
Puoi confrontare la funzione con $e^(-x/2) $: si vede facilmente che quest'ultima tende a $0$ più lentamente e che il suo integrale converge, quindi per confronto converge anche l'integrale che hai scritto.
Detto questo, puoi anche calcolare quell'integrale in modo esatto trovando una primitiva (ad esempio integrando per parti due volte).
Detto questo, puoi anche calcolare quell'integrale in modo esatto trovando una primitiva (ad esempio integrando per parti due volte).
"spugna":
Puoi confrontare la funzione con $e^(-x/2) $: si vede facilmente che quest'ultima tende a $0$ più lentamente e che il suo integrale converge, quindi per confronto converge anche l'integrale che hai scritto.
Non ho be capito il confronto, so che la funzione $e^(-x/2) $ converge, ma quale metodi si applica?
Il criterio del confronto, potresti darmi qualche dettaglio maggiore?
Grazie
"spugna":
Detto questo, puoi anche calcolare quell'integrale in modo esatto trovando una primitiva (ad esempio integrando per parti due volte).
Benissimo, lo avevo fatto e mi tornava ma ero interessato a capire subito se l'integrale convergeva in quanto il calcolo è un po' lunghino e può portare ad errori.
Il criterio del confronto ti dice che se $f$ e $g$ sono due funzioni tali che $f<=g$ in ogni punto di un intervallo $(a,b)$, allora $int_a^b f(x)dx<=int_a^b g(x)dx$ (se gli integrali esistono).
Una conseguenza è il criterio di convergenza assoluta: se $\int_a^b |f(x)|dx$ converge, allora converge anche $\int_a^b f(x)dx$.
Nel tuo caso si può procedere così: detta $f$ la funzione data dal problema, si ha
$int_0^(+oo) |f(x)|dx=int_0^C |f(x)|dx+int_C^(+oo) -f(x)dx$, dove $C$ è una costante abbastanza grande (perché $f(x)<0$ per $x$ abbastanza grande).
Prendiamo ora $g(x)=e^(-x/2)$: sappiamo che $(-f(x))/g(x)=(2x^2+2x-1)e^(-x/2)$ tende a $0$, e in particolare è definitivamente minore di $1$, quindi possiamo scegliere $C$ in modo che si abbia $0<=-f(x)<=g(x)$ $\forall x>=C$, e il criterio del confronto ci dice che $int_C^(+oo) -f(x)dx$ (che esiste perché $-f$ è positiva) è compreso tra $0$ e $int_C^(+oo) g(x)dx$, ma quest'ultimo converge, quindi converge anche $\int_0^(+oo) |f(x)|dx$, e si conclude per convergenza assoluta.
Una conseguenza è il criterio di convergenza assoluta: se $\int_a^b |f(x)|dx$ converge, allora converge anche $\int_a^b f(x)dx$.
Nel tuo caso si può procedere così: detta $f$ la funzione data dal problema, si ha
$int_0^(+oo) |f(x)|dx=int_0^C |f(x)|dx+int_C^(+oo) -f(x)dx$, dove $C$ è una costante abbastanza grande (perché $f(x)<0$ per $x$ abbastanza grande).
Prendiamo ora $g(x)=e^(-x/2)$: sappiamo che $(-f(x))/g(x)=(2x^2+2x-1)e^(-x/2)$ tende a $0$, e in particolare è definitivamente minore di $1$, quindi possiamo scegliere $C$ in modo che si abbia $0<=-f(x)<=g(x)$ $\forall x>=C$, e il criterio del confronto ci dice che $int_C^(+oo) -f(x)dx$ (che esiste perché $-f$ è positiva) è compreso tra $0$ e $int_C^(+oo) g(x)dx$, ma quest'ultimo converge, quindi converge anche $\int_0^(+oo) |f(x)|dx$, e si conclude per convergenza assoluta.
stupefacente! Non ci sarei MAI arrivato.
grazie
Il testo da questa spiegazione invece: l'integrale converge assolutamente perché l'esponenziale si annulla all'infinito più rapidamente di ogni potenza di $x$.
grazie
Il testo da questa spiegazione invece: l'integrale converge assolutamente perché l'esponenziale si annulla all'infinito più rapidamente di ogni potenza di $x$.
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