Integrale con valore assoluto

[cri981]

$ int_(0)^(pi) e^sin(x)| cos(x) | dx = $

visto che l'integrale viene valutato tra o e pi greco, posso eliminare il valore assoluto perchè sempre positivo in questo
intervallo.
$ [sin(pi)e^sin(pi)+cos(pi)] $

pensavo di calcolarlo per parti:

f= e^sin(x) fprime= cos(x)e^sin(x)

gprime=cos(x) g= sin(x)

ottengo:
$ sin(x)e^sin(x)-int_(0)^(pi) cos(x)e^sin(x)sin(x) dx = sin(x)e^sin(x)-(int_(0)^(pi) sin(x)int_(0)^(pi)e^sin(x)cos(x)) $

$ 2int_(0)^(pi) e^sin(x)cos(x) dx = sin(x)e^sin(x)-int_(0)^(pi) sin(x)=[sin(x)e^sin(x)+cos(x)]_(0)^(pi) $

$ =[sin(pi)e^sin(pi)+cos(pi)]- [sin(0)e^sin(0)+cos(0)]= -1-1=-2 $

e dividendo per due ottengo=
$2int_(0)^(pi) e^sin(x)cos(x) dx =-2=-2/2=-1 $

il risultato ottenuto non risulta essere corretto deve essere 0.
dove sbaglio nei calcoli?
Grazie!

[dissonance]

Sei proprio sicuro che \(\cos(x)\) è sempre positivo per \(x\in [0, \pi]\)?

[cri981]

no giusto hai ragione tra 0 e pi greco mezzi è positivo e tra pi greco mezzi e pi greco è negativo
se modifico torna?
adesso effettuo i calcoli.....

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Il presente solo per segnalare che, invece dell'integrazione per parti, conviene decisamente porre $t := sinx \implies \text{d}t = cosx \text{d}x $ od anche osservare che l'integrale proposto è del tipo $\int e^{f(x)} f'(x) \text{d}x $ quindi...

[cri981]

"pilloeffe":Ciao cri98,

Il presente solo per segnalare che, invece dell'integrazione per parti, conviene decisamente porre $ t := sinx \implies \text{d}t = cosx \text{d}x $ od anche osservare che l'integrale proposto è del tipo $ \int e^{f(x)} f'(x) \text{d}x $ quindi...

Grazie Pilloeffe, mi hai fatto risparmiare molti conti

$ \int e^{f(x)} f'(x) \text{d}x =e^(f(x)$

ottengo 2 integrali:
$ int_(0)^(pi/2) e^sin(x)cos(x)dx +int_(pi/2)^(pi) -e^sin(x)cos(x)dx =int_(0)^(pi/2) e^sin(x)cos(x)dx -int_(pi/2)^(pi) e^sin(x)cos(x)dx = (e+1)-(e-1) $

adesso ottengo 2 dove sbaglio?
Grazie!

[pilloeffe]

"cri98":adesso ottengo 2 dove sbaglio?

I conti...

$ int_(0)^(pi/2) e^sin(x)cos(x)dx +int_(pi/2)^(pi) -e^sin(x)cos(x)dx =int_(0)^(pi/2) e^sin(x)cos(x)dx -int_(pi/2)^(pi) e^sin(x)cos(x)dx = $
$ = [e^sinx]_0^{\pi/2} - [e^sinx]_{\pi/2}^{\pi} = [e-1]-[1 - e] = 2e - 2 = 2(e - 1) $

[cri981]

perfetto Pilloeffe
grazie adesso ho capito