Integrale con valore assoluto

[angelox9]

Salve a tutti, ho il seguente integrale:

\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{|x^2-2x|}{2x^2+1}dx \)
Viene chiesto di calcolarlo e darne la relativa interpretazione geometrica.

Non sto riuscendo a risolvere questo integrale, qualche consiglio?

[lexuspace]

Ciao Angelo,

per prima cosa devi studiare la funzione racchiusa nel valore assoluto:

$ { ( x^2-2x | 0<= x vv x>= 2 ),( 2x-x^2 | 0
A questo punto, guardando l'intervallo dell'integrale, possiamo scrivere:

$ int_(0)^(sqrt(2)/2) abs(x^2-2x)/(2x^2+1) dx = int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x-x^2)/(2x^2+1) dx $

Ora possiamo separare l'integrale in 2 pezzi:

$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x)/(2x^2+1) dx - int_(0)^(sqrt(2)/2) (x^2)/(2x^2+1) dx $

Guardando il secondo dei 2 integrali, ci accorgiamo che il polinomio al numeratore è di grado pari al polinomio del denominatore, procediamo facendo la divisione polinomiale (se hai problemi ti aggiungo il pezzo dei calcoli) ed otteniamo:

$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x)/(2x^2+1) dx + 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) (1)/(2x^2+1) dx - 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) dx $

A questo punto risolviamo le primitive una ad una:

1) $ int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x)/(2x^2+1) dx = 1/2[log abs(2x^2+1)]{::}_(\ \ 0)^(sqrt(2)/2) $

2) $ 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) (1)/(2x^2+1) dx = 1/(2sqrt(2))[arctan (sqrt(2)x)]{::}_(\ \ 0)^(sqrt(2)/2) $

3) $ - 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) dx = -1/2[x]{::}_(\ \ 0)^(sqrt(2)/2) $

Svolgendo i relativi calcoli otteniamo:

$ 1/2log(2) + pi/(8 sqrt(2)) - sqrt(2)/4 $

Salvo errori dovuti alla mancanza di caffeina lo svolgimento è questo, fammi sapere se hai dubbi o problemi.

[angelox9]

Ti ringrazio di aver risposto.

Ad esempio:
$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x)/(2x^2+1) dx = 2[log abs(2x^2+1)]{::}_(\ \ 0)^(sqrt(2)/2) $
Non dovrebbe essere.
$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x)/(2x^2+1) dx = [[log abs(2x^2+1)]/2]{::}_(\ \ 0)^(sqrt(2)/2) $

Mi sono perso.

Da qui in poi:
Guardando il secondo dei 2 integrali, ci accorgiamo che il polinomio al numeratore è di grado pari al polinomio del denominatore, procediamo facendo la divisione polinomiale (se hai problemi ti aggiungo il pezzo dei calcoli) ed otteniamo:
$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x)/(2x^2+1) dx + 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) (1)/(2x^2+1) dx - 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) dx $

[lexuspace]

Ciao Angelo,

hai proprio ragione, invece di scrivere 1/2 ho scritto 2....correggo al volo il post originale. (ora ho preso il caffè però ahah)

per quanto riguarda la seconda parte tra un attimo ti posto dei passaggi più dettagliati.

[angelox9]

Ahah, il caffè fa miracoli.
Ti ringrazio.

[lexuspace]

Allora ti rispondo in merito alla divisione polinomiale, in particolare riguarda questo integrale:

$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (x^2)/(2x^2+1) dx $

Come puoi vedere il numeratore è di secondo grado così come il denominatore, per questo motivo dobbiamo procedere con la divisione tra polinomi. Se provi a farla ti verrà fuori un quoziente ed un resto:

$ Q (x) = 1/2 $

$ R (x) = -1/2 $

e poichè quando dividiamo un polinomio $ P (x) $ per un divisore $ D (x) $ risulta:

$ P (x) = Q(x)D(x) + R(x) $

facendo i calcoli:

$ x^2 = 1/2(2x^2+1)-1/2 $

quindi il nostro integrale diventa:

$ int_(0)^(sqrt(2)/2) (x^2)/(2x^2+1) dx = 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x^2+1)/(2x^2+1) dx - 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) 1/(2x^2+1) dx = 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) dx - 1/2 int_(0)^(sqrt(2)/2) 1/(2x^2+1) dx $

Poi il primo è un integrale semplice e il secondo, tramite qualche piccolo accorgimento, diventa la derivata di un arcotangente. Fammi sapere se il pezzo dell'arctan ti è chiaro altrimenti ti metto i passaggi.

Buon lavoro

[angelox9]

Potresti farmi vedere come fai a trovare l'arctan.

Alla fine ti dico tutti i dubbi che mi sono venuti in mente.

[lexuspace]

Allora per l'arctan iniziamo con lo scrivere il denominatore $ 2x^2 + 1 $ così $ (sqrt(2)x)^2 + 1 $, fatto questo poniamo $ y = sqrt(2)x $ e di conseguenza $ dx = 1/sqrt2 dy $. A questo punto il nostro integrale diventa:

$ 1/(2sqrt2) int_(0)^(sqrt(2)/2) (1)/(y^2+1) dy = 1/(2sqrt2)[arctan(sqrt(2)x)]{::}_(\ \ 0)^(sqrt(2)/2) $

Svolgendo i calcoli ottieni: $ pi/(8 sqrt(2)) $

Fammi sapere se hai problemi o dubbi, resto a completa disposizione

[angelox9]

Come pensavo, più o meno anch'io.

Iniziamo con i dubbi:

1)Essendo che c'era il valore assoluto, prima di tutto hai dovuto studiare la funzione racchiusa nel valore assoluto.
Essendo che era in un solo intervallo, non ci sono stati tanti problemi.
Ma se invece gli intervalli erano due?
Esempio:
\(\displaystyle \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{|x^2-2x|}{2x^2+1}dx
\)

Quindi dovevi considerare sia il primo che il secondo intervallo:
$ { ( x^2-2x | 0<= x vv x>= 2 ),( 2x-x^2 | 0 Come si risolveva?

2)Dove prendo l'illuminazione , per capire dato un integrale cosa applicare, come destreggiarmi.
Ad esempio:
a)Subito al primo colpo hai diviso l'integrale in due parti, io non so se ci avrei pensato.
b)Quella cosa di fare $ y = sqrt(2)x $ , da dove ti è venuta, non mi sarebbe mai venuta in mente.

Avevo altri dubbi, ma al momento li ho persi per strada.

[lexuspace]

Buongiorno Angelo,

cerco di risponderti punto per punto in maniera semplice e chiara:

1) se l'intervallo dell'integrale fosse stato più esteso in modo tale da prendere entrambi gli intervalli della funzione valore assoluto sarebbe stato necessario separare l'integrale in più pezzi, ti faccio un velocissimo esempio:

$ int_(-sqrt(2)/2)^(sqrt(2)/2) abs(x^2-2x)/(2x^2+1) dx = int_(-sqrt(2)/2)^(0) (x^2-2x)/(2x^2+1) + int_(0)^(sqrt(2)/2) (2x-x^2)/(2x^2+1) $

2) A meno che tu non abbia notato qualche forma particolare dell'integranda, per esempio al numeratore hai 2 monomi che rappresentano la derivata del polinomio al denominatore (primitiva -> log? ), in generale ti conviene sempre separare i monomi in modo da poter risolvere i singoli integrali più intuitivamente e semplicemente.

3) il giochino del $ sqrt(2)x $ è una cosa che si fa abbastanza abitualmente quando si nota che l'integranda assomiglia alla derivata di un arcotan, quindi poi per forza di cose devi fare quella trasformazione lì. Vedrai che facendo più esercizi comincerai ad avere sempre più dimestichezza con questi "trucchetti"

Spero di averti chiarito i dubbi e non esitare a chiedere se ne dovessi avere degli altri.

Buona giornata e buon lavoro