Integrale con valor principale
Esercizio. Si dimostri \[v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{3\cos{x}}{9-x^2}dx=\pi\sin{3}\]
Svolgimento. In spoiler perché pagina scannerizzata.
Perché non torna? Ho provato anche ad aggirare le singolarità in modi diversi, ma sempre $0$ mi viene...
Cosa sbaglio?
Grazie a tutti.
Svolgimento. In spoiler perché pagina scannerizzata.
Perché non torna? Ho provato anche ad aggirare le singolarità in modi diversi, ma sempre $0$ mi viene...
Cosa sbaglio?
Grazie a tutti.
Risposte
Se non scegli il contorno d'integrazione giusto puoi fare tutti i conti che vuoi, ma l'integrale non verrà mai.
Insomma, usi i lemmi di Jordan meccanicamente, senza verificare che essi possano essere applicati effettivamente.
Infatti, dentro l'integrale hai due esponenziali, ed ognuno di essi ha un comportamento diverso all'infinito; quindi devi controllare bene.
Insomma, usi i lemmi di Jordan meccanicamente, senza verificare che essi possano essere applicati effettivamente.
Infatti, dentro l'integrale hai due esponenziali, ed ognuno di essi ha un comportamento diverso all'infinito; quindi devi controllare bene.
"gugo82":
Infatti, dentro l'integrale hai due esponenziali, ed ognuno di essi ha un comportamento diverso all'infinito; quindi devi controllare bene.
Ma se spezzo l'integrale in due integrali, quello contenente $e^(iz)$ dovrebbe essere chiuso da sopra ($\alpha>0$), ma così non incontrerei nessuna singolarità e quindi per il Teorema di Cauchy fa $0$.
Quello contenente $e^(-iz)$, invece, viene chiuso da sotto ($\alpha<0$) e quindi vi incontro le due singolarità e, avendo chiuso da sotto, ottengo un cammino chiuso negativamente orientato, e quindi quando applico il Teorema dei Residui cambio segno ai residui.
Non capisco dove sia l'errore...
PS. Non uccidermi per la mancanza estrema di rigore, non faccio Matematica, e non studio per un esame di Matematica.
Nota che \(\cos x = \operatorname{Re} e^{\imath\ z} \Big|_{z=x}\), quindi il tuo integrale si riscrive:
\[
3\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\operatorname{Re} e^{\imath\ z}}{9-z^2}\Big|_{z=x}\ \text{d} x = 3\operatorname{Re} \left(\int_{+\{y=0\}} \frac{e^{\imath\ z}}{9-z^2}\ \text{d} z \right)\; ;
\]
perciò ti conviene prendere la sola funzione ausiliaria \(f(z) = \frac{e^{\imath\ z}}{9-z^2}\).
Dato che la funzione va a zero all'infinito solo se prendi \(\operatorname{Im} z>0\), è chiaro che devi integrare su un contorno contenuto nel semipiano superiore; inoltre, devi pure aggirare le due singolarità sull'asse reale.
Il contorno da scegliere è quindi formato da: una semicirconferenza \(+\Gamma (0;R)\), un segmento dell'asse reale \([-R,-3-r]\), una semicirconferenza \(-\gamma(-3;r)\), un segmento dell'asse reale \([-3+r,3-r]\), una semicirconferenza \(-\gamma (3;r)\), un segmento dell'asse reale \([3+r,R]\). Qui ovviamente \(0
\[
\left( \int_{-R}^{-3-r} + \int_{-3+r}^{3-r} + \int_{3+r}^R\right) f(x)\ \text{d} x = \left( \int_{+\Gamma (0;R)} -\int_{+\gamma (-3;r)} -\int_{+\gamma (3;r)}\right) f(z)\ \text{d} z
\]
e dunque, passando al limite:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f(z)\ \text{d} z - \lim_{r\to 0^+} \left( \int_{+\gamma (-3;r)} + \int_{+\gamma (3;r)}\right) f(z)\ \text{d} z\; .
\]
Per il lemma di Jordan dell'arco grande, il primo limite fa \(0\).
Per il lemma di Jordan dell'arco piccolo hai:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \left( \int_{+\gamma (-3;r)} + \int_{+\gamma (3;r)}\right) f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \imath\ \lim_{|z-3|\to 0^+} (z-3) f(z) + \pi\ \imath\ \lim_{|z+3|\to 0^+} (z+3) f(z) \\
&= -\pi\ \imath\ \frac{e^{\imath 3}}{6} + \pi\ \imath\ \frac{e^{-\imath 3}}{6}\\
&= -\pi\ \imath \frac{1}{6}\ (2\imath\ \sin (-3)) \\
&= -\frac{\pi \sin 3}{3}
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \frac{\pi \sin 3}{3}\; .
\]
Dato che il tuo integrale originario era uguale al triplo della parte reale dell'integrale di \(f\) hai il tuo risultato.
\[
3\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\operatorname{Re} e^{\imath\ z}}{9-z^2}\Big|_{z=x}\ \text{d} x = 3\operatorname{Re} \left(\int_{+\{y=0\}} \frac{e^{\imath\ z}}{9-z^2}\ \text{d} z \right)\; ;
\]
perciò ti conviene prendere la sola funzione ausiliaria \(f(z) = \frac{e^{\imath\ z}}{9-z^2}\).
Dato che la funzione va a zero all'infinito solo se prendi \(\operatorname{Im} z>0\), è chiaro che devi integrare su un contorno contenuto nel semipiano superiore; inoltre, devi pure aggirare le due singolarità sull'asse reale.
Il contorno da scegliere è quindi formato da: una semicirconferenza \(+\Gamma (0;R)\), un segmento dell'asse reale \([-R,-3-r]\), una semicirconferenza \(-\gamma(-3;r)\), un segmento dell'asse reale \([-3+r,3-r]\), una semicirconferenza \(-\gamma (3;r)\), un segmento dell'asse reale \([3+r,R]\). Qui ovviamente \(0
\[
\left( \int_{-R}^{-3-r} + \int_{-3+r}^{3-r} + \int_{3+r}^R\right) f(x)\ \text{d} x = \left( \int_{+\Gamma (0;R)} -\int_{+\gamma (-3;r)} -\int_{+\gamma (3;r)}\right) f(z)\ \text{d} z
\]
e dunque, passando al limite:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f(z)\ \text{d} z - \lim_{r\to 0^+} \left( \int_{+\gamma (-3;r)} + \int_{+\gamma (3;r)}\right) f(z)\ \text{d} z\; .
\]
Per il lemma di Jordan dell'arco grande, il primo limite fa \(0\).
Per il lemma di Jordan dell'arco piccolo hai:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \left( \int_{+\gamma (-3;r)} + \int_{+\gamma (3;r)}\right) f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \imath\ \lim_{|z-3|\to 0^+} (z-3) f(z) + \pi\ \imath\ \lim_{|z+3|\to 0^+} (z+3) f(z) \\
&= -\pi\ \imath\ \frac{e^{\imath 3}}{6} + \pi\ \imath\ \frac{e^{-\imath 3}}{6}\\
&= -\pi\ \imath \frac{1}{6}\ (2\imath\ \sin (-3)) \\
&= -\frac{\pi \sin 3}{3}
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \frac{\pi \sin 3}{3}\; .
\]
Dato che il tuo integrale originario era uguale al triplo della parte reale dell'integrale di \(f\) hai il tuo risultato.
Mmmh... Al di là di questo formalismo che dovrò usare solo all'orale, quando scrivo "chiudere il cammino da sopra o da sotto" intendo con semicirconferenze di raggio $R$, che poi farò tendere a $0$ eccetera, ma negli esercizi scritti l'insegnante non vuole questo livello di formalismo. Solo all'orale...
Dunque, io questa cosa del coseno \(\cos x = \operatorname{Re} e^{\imath\ z} \Big|_{z=x}\) non la so (non s'è fatta a lezione, e quindi non posso usarla al compito), so soltanto che
\[\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\]
e che
\[\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]
Con queste condizioni come si modifica il tuo ragionamento?
Anzi, se puoi, puoi evidenziare i punti del mio sbagliati e dirmi perché sono sbagliati?
Perché è sbagliato spezzare l'integrale e chiudere il cammino con due semicirconferenze diverse a seconda del segno del coefficiente di $iz$?
Dunque, io questa cosa del coseno \(\cos x = \operatorname{Re} e^{\imath\ z} \Big|_{z=x}\) non la so (non s'è fatta a lezione, e quindi non posso usarla al compito), so soltanto che
\[\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\]
e che
\[\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]
Con queste condizioni come si modifica il tuo ragionamento?
Anzi, se puoi, puoi evidenziare i punti del mio sbagliati e dirmi perché sono sbagliati?
Perché è sbagliato spezzare l'integrale e chiudere il cammino con due semicirconferenze diverse a seconda del segno del coefficiente di $iz$?
"giuliofis":
Mmmh... Al di là di questo formalismo che dovrò usare solo all'orale, quando scrivo "chiudere il cammino da sopra o da sotto" intendo con semicirconferenze di raggio \( R \), che poi farò tendere a \( 0 \) eccetera, ma negli esercizi scritti l'insegnante non vuole questo livello di formalismo. Solo all'orale...
E che vuol dire?
Un esercizio o si risolve correttamente o non lo si risolve; indipendentemente dal formalismo, la tua soluzione precedente non è corretta.
"giuliofis":
Dunque, io questa cosa del coseno \( \cos x = \operatorname{Re} e^{\imath\ z} \Big|_{z=x} \) non la so (non s'è fatta a lezione, e quindi non posso usarla al compito)
Ah... Quindi a lezione non avete mai usato la forma esponenziale dei numeri complessi?
O la formula di Eulero:
\[
e^{\imath\ x} = \cos x+\imath\ \sin x\; ?
\]
Chissà come mai, io sono convintissimo che l'abbiate fatta.
"giuliofis":
so soltanto che
\[ \cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \]
e che
\[ \sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \]
Con queste condizioni come si modifica il tuo ragionamento?
Se vuoi usare queste formule, devi semplicemente calcolare due integrali complessi.
"giuliofis":
Anzi, se puoi, puoi evidenziare i punti del mio sbagliati e dirmi perché sono sbagliati?
Perché è sbagliato spezzare l'integrale e chiudere il cammino con due semicirconferenze diverse a seconda del segno del coefficiente di \( iz \)?
Cosa dovrei evidenziare?
Nel "foglio" postato non c'è l'ombra di un ragionamento. Ci sono solo due passaggi buttati lì, come se non servisse nient'altro a farci capire le tue idee.
Non appena riuscirai a postare un ragionamento scritto per bene, non mancherò di correggerlo.
Adesso sono dal cellulare. Scriverò a parole e domani scriverò con formule.
Quello che ho fatto è stato estendere l'integrale in campo complesso usando come percorso l'asse reale (avendo aggirato le singolarità nel semipiano superiore con due semicirconferenze). Usando la formula per il coseno scritta da me nell'ultimo post, spezzo l'integrale in due, contenente ognuno un esponenziale.
1) Per calcolare il primo (esponenziale con coefficiente di $ipi$ positivo) applico il Lemma di Jordan chiudendo il circuito da sopra con una semicirconferenza i raggio R) Per il Teorema di Cauchy, non incontrando singolarità, viene zero.
2) Per l'altro faccio la stessa cosa, solo che essendo il coefficiente di $ipi$ negativo chiudo nel semopiano inferiore con la semicirconferenza di raggio R. Incontrando le singolarità, applico il Teorema dei Residui con i passaggi mostrati nel primo post.
3) Aggiungo le quantità dovute al Valore Principale.
Quello che ho fatto è stato estendere l'integrale in campo complesso usando come percorso l'asse reale (avendo aggirato le singolarità nel semipiano superiore con due semicirconferenze). Usando la formula per il coseno scritta da me nell'ultimo post, spezzo l'integrale in due, contenente ognuno un esponenziale.
1) Per calcolare il primo (esponenziale con coefficiente di $ipi$ positivo) applico il Lemma di Jordan chiudendo il circuito da sopra con una semicirconferenza i raggio R) Per il Teorema di Cauchy, non incontrando singolarità, viene zero.
2) Per l'altro faccio la stessa cosa, solo che essendo il coefficiente di $ipi$ negativo chiudo nel semopiano inferiore con la semicirconferenza di raggio R. Incontrando le singolarità, applico il Teorema dei Residui con i passaggi mostrati nel primo post.
3) Aggiungo le quantità dovute al Valore Principale.
Scusami la qualità dell'immagine ma ho avuto problemi con lo scanner ed ho preferito scriverlo a mano per i pochi disegni. Questo il mio svolgimento, sbagliato ma non so dove.
Cliccando sull'immagine viene a dimensione accettabile.
PS. Mi sono dimenticato il $3$ quando valuto i termini aggiuntivi del Valor Principale, che poi però ho inserito nel risultato finale perché ho copiato i calcoli dall'altro foglio.
Cliccando sull'immagine viene a dimensione accettabile.
PS. Mi sono dimenticato il $3$ quando valuto i termini aggiuntivi del Valor Principale, che poi però ho inserito nel risultato finale perché ho copiato i calcoli dall'altro foglio.
Non vedo perché non usare la formula di Eulero, ma mi adeguo.
Scegliamo (sotto costrizione) la funzione ausiliaria:
\[
f(z):= \frac{e^{\imath z} + e^{-\imath z}}{2(9-z^2)}\; ;
\]
la restrizione di tale funzione all'asse reale fornisce:
\[
f(z)\Big|_{z=x} = \frac{\cos x}{9-x^2}
\]
dunque \(f(z)\) va bene come funzione ausiliaria.
Dato che:
\[
f(z) = \underbrace{\frac{e^{\imath z}}{2(9-z^2)}}_{=:f_1(z)} + \underbrace{\frac{e^{-\imath z}}{2(9-z^2)}}_{=:f_2(z)}
\]
si ha:
\[
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)\ \text{d} x + \operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)\ \text{d} x
\]
e basta calcolare separatamente i due integrali a valor principale di \(f_1(z)\) ed \(f_2(z)\) per risolvere.
Inoltre (eventualmente servisse), dobbiamo tener presente che \(f_1(z)\) ed \(f_2(z)\) hanno comportamenti diversi all'infinito a seconda che \(z\to \infty\) nel semipiano inferiore \( \{y<0\}\) o nel semipiano superiore \( \{y>0\}\) e regolarci di conseguenza.
Cominciamo da \(f_1(z)\).
Consideriamo, con \(0
Scegliamo (sotto costrizione) la funzione ausiliaria:
\[
f(z):= \frac{e^{\imath z} + e^{-\imath z}}{2(9-z^2)}\; ;
\]
la restrizione di tale funzione all'asse reale fornisce:
\[
f(z)\Big|_{z=x} = \frac{\cos x}{9-x^2}
\]
dunque \(f(z)\) va bene come funzione ausiliaria.
Dato che:
\[
f(z) = \underbrace{\frac{e^{\imath z}}{2(9-z^2)}}_{=:f_1(z)} + \underbrace{\frac{e^{-\imath z}}{2(9-z^2)}}_{=:f_2(z)}
\]
si ha:
\[
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)\ \text{d} x + \operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)\ \text{d} x
\]
e basta calcolare separatamente i due integrali a valor principale di \(f_1(z)\) ed \(f_2(z)\) per risolvere.
Inoltre (eventualmente servisse), dobbiamo tener presente che \(f_1(z)\) ed \(f_2(z)\) hanno comportamenti diversi all'infinito a seconda che \(z\to \infty\) nel semipiano inferiore \( \{y<0\}\) o nel semipiano superiore \( \{y>0\}\) e regolarci di conseguenza.
Cominciamo da \(f_1(z)\).
Consideriamo, con \(0
- [*:2du4d7jz] la semicirconferenza \(\Gamma (0;R)\) del semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa in senso antiorario;
[/*:m:2du4d7jz]
[*:2du4d7jz] il segmento d'estremi \(-R\) e \(-3-r\), percorso dal primo al secondo estremo;
[/*:m:2du4d7jz]
[*:2du4d7jz] la semicirconferenza \(\gamma (-3;r)\) del semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa in senso orario;
[/*:m:2du4d7jz]
[*:2du4d7jz] il segmento d'estremi \(-3+r\) e \(3-r\), percorso dal primo al secondo estremo;
[/*:m:2du4d7jz]
[*:2du4d7jz] la semicirconferenza \(\gamma (3;r)\) del semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa in senso orario;
[/*:m:2du4d7jz]
[*:2du4d7jz] il segmento d'estremi \(3+r\) e \(R\), percorso dal primo al secondo estremo.[/*:m:2du4d7jz][/list:u:2du4d7jz]
Detto \(\Omega (r,R)\) il dominio racchiuso da tale circuito, per il teorema integrale di Cauchy si ha:
\[
\int_{+\partial \Omega (r,R)} f_1(z)\ \text{d} z =0
\]
per ogni \(r,R>0\), sicché:
\[
\lim_{r\to 0^+, R\to +\infty} \int_{+\partial \Omega (r,R)} f_1(z)\ \text{d} z =0\; ;
\]
d'altra parte è:
\[
\int_{+\partial \Omega (r,R)} f_1(z)\ \text{d} z = \left( \int_{+\Gamma (0;r)} + \int_{-R}^{-3-r} - \int_{+\gamma (-3;r)} +\int_{-3+r}^{3-r} -\int_{+\gamma(3;r)} +\int_{3+r}^R\right) f_1(z)\ \text{d} z
\]
quindi, passando al limite e sommando i contributi che forniscono l'integrale a valore principale di \(f_1(z)\) sull'asse, si ha:
\[
0=\operatorname{VP}\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)\ \text{d} x + \lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f_1(z)\ \text{d} z - \left(\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (-3;r)} f_1(z)\ \text{d} z + \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (3;r)} f_1(z)\ \text{d} z \right)
\]
ossia:
\[
\operatorname{VP}\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)\ \text{d} x = -\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f_1(z)\ \text{d} z + \left( \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (-3;r)} f_1(z)\ \text{d} z + \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (3;r)} f_1(z)\ \text{d} z \right)\; .
\]
Il lemma di Jordan dell'arco grande implica che:
\[
\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f_1(z)\ \text{d} z = \pi\ \imath\ \lim_{|z|\to +\infty} z\ f_1(z) =0\; ;
\]
il lemma di Jordan dell'arco piccolo importa che:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (-3;r)} f_1(z)\ \text{d} z &= \pi\ \imath\ \lim_{|z+3|\to 0^+} (z+3)\ f_1(z) = \pi\ \imath\ \frac{e^{-3\imath}}{12} \\
\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (3;r)} f_1(z)\ \text{d} z &= \pi\ \imath\ \lim_{|z-3|\to 0^+} (z-3)\ f_1(z) = \pi\ \imath\ \frac{-e^{3\imath}}{12}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\operatorname{VP}\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)\ \text{d} x = \pi\ \imath\ \left( \frac{e^{-3\imath} - e^{3\imath}}{12}\right) = \frac{\pi}{6}\ \sin 3\; .
\]
Fatto ciò, l'integrale \(f_2(z)\) si calcola molto facilmente.
Invero, osservato che:
\[
f_2(z)\Big|_{z=-x} = \frac{e^{\imath x}}{2(9-x^2)} = f_1(z)\Big|_{z=x}\; ,
\]
l'integrale a valor principale di \(f_2(z)\) si riscrive:
\[
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)\ \text{d} x \stackrel{t=-x}{=} \operatorname{VP} \left( -\int_{+\infty}^{-\infty} f_2(-t)\ \text{d} t\right) = \operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t)\ \text{d} t
\]
perciò, sfruttando i conti fatti poco più sopra, otteniamo:
\[
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)\ \text{d} x = \frac{\pi}{6}\ \sin 3\; .
\]
Sommando:
\[
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = \frac{\pi}{3}\ \sin 3
\]
da cui immediatamente:
\[
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{3\cos x}{9-x^2}\ \text{d} x = \pi\ \sin 3\; .
\]
Ci studierò su, è sempre molto formale per il livello del mio corso. Grazie!
"giuliofis":
è sempre molto formale per il livello del mio corso
Di nuovo, ma che vuol dire?
Che nel tuo corso fate gli esercizi a casaccio, così come viene?
Non lo credo.
Piuttosto, il docente lascerà agli studenti verificare la bontà di tutti i passaggi che fa a lezione (come si fa sempre, per altro, nei corsi avanzati per questioni di tempo)... Che poi gli studenti pensino di non doverlo fare, perché il docente non lo fa, è un'altra storia.
Inoltre, noto che ovviamente* sbagli a calcolare l'integrale di \(f_2(z)\) col metodo dei residui.
Visto che integri nella regione delimitata dal circuito:
- [*:2zsddhmr] la semicirconferenza \(\Gamma (0;R)\) del semipiano \(\{ y<0\}\), percorsa in senso antiorario;
[/*:m:2zsddhmr]
[*:2zsddhmr] il segmento d'estremi \(R\) e \(3+r\), percorso dal primo al secondo estremo;
[/*:m:2zsddhmr]
[*:2zsddhmr] la semicirconferenza \(\gamma (-3;r)\) del semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa in senso antiorario;
[/*:m:2zsddhmr]
[*:2zsddhmr] il segmento d'estremi \(3-r\) e \(-3+r\), percorso dal primo al secondo estremo;
[/*:m:2zsddhmr]
[*:2zsddhmr] la semicirconferenza \(\gamma (3;r)\) del semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa in senso antiorario;
[/*:m:2zsddhmr]
[*:2zsddhmr] il segmento d'estremi \(-3-r\) e \(-R\), percorso dal primo al secondo estremo,[/*:m:2zsddhmr][/list:u:2zsddhmr]
hai per ogni \(R\gg 1\gg r>0\):
\[
\int_{+\partial \Omega (r;R)} f_2(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ (\operatorname{Res} (f_2;3) + \operatorname{Res} (f_2;-3))\; ;
\]
d'altra parte:
\[
\int_{+\partial \Omega (r;R)} f_2(z)\ \text{d} z = \left( \int_{+\Gamma (0;R)} - \int_{3+r}^R + \int_{+\gamma (3;r)} -\int_{-3+r}^{3-r} + \int_{+\gamma (-3;r)} - \int_{-R}^{-3-r} \right)\ f_2(z)\ \text{d} z
\]
quindi passando al limite:
\[
\lim_{r\to 0^+,\ R\to +\infty} \left( \int_{+\Gamma (0;R)} - \int_{3+r}^R + \int_{+\gamma (3;r)} -\int_{-3+r}^{3-r} + \int_{+\gamma (-3;r)} - \int_{-R}^{-3-r} \right)\ f_2(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ (\operatorname{Res} (f_2;3) + \operatorname{Res} (f_2;-3))\; ,
\]
ossia, raggruppando i pezzi che forniscono l'integrale a valor principale di \(f_2(z)\):
\[
\begin{split}
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)\ \text{d} x &= - 2\pi\ \imath\ (\operatorname{Res} (f_2;3) + \operatorname{Res} (f_2;-3)) + \lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f_2(z)\ \text{d} z \\
&\phantom{=} + \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (3;r)} f_2(z)\ \text{d} z +\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (-3;r)} f_2(z)\ \text{d} z \; ;
\end{split}
\]
Per il lemma di Jordan, il limite per \(R\to +\infty\) è nullo; d'altra parte, per il lemma di Jordan, i limiti per \(r\to 0^+\) uguagliano \(\pi\ \imath\ (\operatorname{Res} (f_2;3) + \operatorname{Res} (f_2;-3))\); quindi:
\[
\begin{split}
\operatorname{VP} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)\ \text{d} x &= - \pi\ \imath\ (\operatorname{Res} (f_2;3) + \operatorname{Res} (f_2;-3))\\
&= -\pi\ \imath\ \left( -\frac{e^{-3\imath}}{12} + \frac{e^{3\imath}}{12}\right) \\
&= \pi\ \frac{\sin 3}{6}\; .
\end{split}
\]
__________
* "Ovviamente" non perché tu non sia bravo, ma perché i passaggi sono fatti come se non fosse importante concentrarsi sul loro significato formale ma solo sul "contariello del salumiere".
"gugo82":
[quote="giuliofis"]è sempre molto formale per il livello del mio corso
Di nuovo, ma che vuol dire?
Che nel tuo corso fate gli esercizi a casaccio, così come viene?
Non lo credo.
Piuttosto, il docente lascerà agli studenti verificare la bontà di tutti i passaggi che fa a lezione (come si fa sempre, per altro, nei corsi avanzati per questioni di tempo)... Che poi gli studenti pensino di non doverlo fare, perché il docente non lo fa, è un'altra storia.[/quote]
Abbiamo fatto molti esercizi in classe, dove tutti noi siamo stati alla lavagna almeno una volta. Il livello di formalismo dello scritto è quello che ho usato nell'ultima immagine.
Mah... Che dire.
Se davvero è così, l'organizzazione dei corsi per i nuovi ordinamenti non cessa mai di stupirmi.
Che corso è? Una roba da mezzo credito?
Se davvero è così, l'organizzazione dei corsi per i nuovi ordinamenti non cessa mai di stupirmi.
Che corso è? Una roba da mezzo credito?
Che ti devo dire, così si fanno a Metodi Matematici della Fisica. Ti faccio vedere qualche esercizio dal libro Rossetti.
Ah, comunque sì, si è fatta la formula di Eulero, ma non l'avevo mai vista scritta come l'avevi scritta. Problema mio, nel libro c'è ma avevo saltato (momentaneamente) quel paragrafo.
Ah, comunque sì, si è fatta la formula di Eulero, ma non l'avevo mai vista scritta come l'avevi scritta. Problema mio, nel libro c'è ma avevo saltato (momentaneamente) quel paragrafo.
Ho capito quale era il mio errore. Per applicare la definizione di valor principale la funzione integranda deve essere nella forma (considerando una sola singolarità sul cammino)
\[\frac{f(z)}{z-z_0}\]
mentre io avevo scritto \(z_0-z\), da qui un segno sbagliato. Facendo questa correzione, tutto torna.
\[\frac{f(z)}{z-z_0}\]
mentre io avevo scritto \(z_0-z\), da qui un segno sbagliato. Facendo questa correzione, tutto torna.
"giuliofis":
Che ti devo dire, così si fanno a Metodi Matematici della Fisica. Ti faccio vedere qualche esercizio dal libro Rossetti.
Ah, comunque sì, si è fatta la formula di Eulero, ma non l'avevo mai vista scritta come l'avevi scritta. Problema mio, nel libro c'è ma avevo saltato (momentaneamente) quel paragrafo.
nel primo esempio svolto, qualcuno mi sa dire perchè si usa la derivata totale seconda?
(per il limite di $x->0$ ok, ma quella derivata mi sfugge...)
Perché hai un polo del terzo ordine...
Ma forse anche questo è "troppo formalismo", no?
Ma forse anche questo è "troppo formalismo", no?
"gugo82":
Ma forse anche questo è "troppo formalismo", no?
Beh, almeno fin qui... 
Alla fine ho preso 27. Ho sbagliato solo qualche conto e una parte dell'esercizio sulle convoluzioni.
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