Integrale con Teorema dei Residui

[pitagora111]

Ciao a tutti,
devo risolvere il seguente integrale mediante il Teorema dei Residui, ma non so proprio da dove partire.

$ int_(-oo)^(+oo) (sinx+cosx)/((4x+pi)(x^2+pi^2)) dx $

Fino ad ora, mi erano sempre capitati integrali già con la variabile complessa (o al massimo angolare, e applicavo le opportune sostituzioni) ed avente estremi di integrazione finiti.
Qualcuno mi sa illuminare?

[dan952]

Cerca le singolarità, di che tipo sono?

[pitagora111]

I valori di x che annullano il denominatore sono

$ x=-pi/4 $ singolarità del primo ordine eliminabile in quanto annulla anche il numeratore

$ x=+-pii $ entrambe del primo ordine

[dan952]

Perfetto non ti resta che applicare il teorema all'unica singolarità polare semplice presente all'interno della semicirconferenza di raggio R e $\Im(z)>0$ (cioè $[-R,R] uu {|z|=R, \Im(z)>0$), cioè $z=\pi i$ facendo crescere R per il lemma di Jordan ottieni l'integrale lungo il cammino $(-\infty,+\infty)$.

[pitagora111]

Credo che a me non sia chiarissima l'applicazione del Lemma di Jordan...
Sostanzialmente, dovrei fare il limite della parte immaginaria dell'integrale tra -R ed R? E non devo ricondurre $sinx$ e $cosx$ nelle rispettive forme esponenziali? Scusa la confusione

[dan952]

Non devi applicare il lemma di Jordan direttamente infatti questo ci suggerisce che gli integrali impropri possono essere calcolati con il teorema dei residui,basta che ti riguardi la teoria.
In sostanza quello che devi fare è calcolarti i residui delle singolarità di $f$ che hanno parte immaginaria positiva, ovvero $z_1=\pi i$ nel nostro caso e moltiplicarla per $2\pi i$...

[pitagora111]

Scusa l'enorme ritardo per la risposta (che avevo anche già letto), ma non ho avuto proprio tempo di replicare.
Alla fine ho tralasciato l'esame in questione per riprenderlo solo ora.
Ristudiando tutto da zero, credo di aver finalmente compreso come svolgere questo tipo di esercizi.

L'unico dubbio che mi è rimasto è il seguente: il passaggio alla forma esponenziale delle funzioni seno e coseno è sempre consentito? Perchè confrontandomi con alcuni colleghi all'università è emerso che la presenza dell'unità immaginaria al denominatore non permette (forse) questo passaggio. Ad esempio, ho il seguente esercizio:

$ int_(-oo)^(+oo) (x+sinx)/(x(x^2+4i-4)^2) dx $

E' possibile riscrivere questo integrale nel modo seguente mediante due integrali distinti?

$ int_(-oo)^(+oo) (x)/(x(x^2+4i-4)^2) dx + Im (int_(-oo)^(+oo) (e^(ix))/(x(x^2+4i-4)^2) dx) $

O la presenza dell'unità immaginaria al denominatore non mi consente di far ciò?

[pitagora111]

Scusate l'up ragazzi, è urgente :S