Integrale con taylor?
Salve.
Studiando su delle dispense mi sono imbattuto in questo esercizio:
Dimostrare che $int_(0)^(1) arctanx/x dx =sum_(n =0) ^ (oo )(-1)^n/(2n+1)^2$
Ora se al posto della funzione dentro l'integrale mettessi direttamente il suo polinomio di taylor calcolato in zero mi uscirebbe direttamente l'uguaglianza. Tuttavia mi sembra un passaggio del tutto ingiustificato (o no?). qualcuno saprebbe dirmi perché funziona e/o come andrebbe risolto l'esercizio?
Studiando su delle dispense mi sono imbattuto in questo esercizio:
Dimostrare che $int_(0)^(1) arctanx/x dx =sum_(n =0) ^ (oo )(-1)^n/(2n+1)^2$
Ora se al posto della funzione dentro l'integrale mettessi direttamente il suo polinomio di taylor calcolato in zero mi uscirebbe direttamente l'uguaglianza. Tuttavia mi sembra un passaggio del tutto ingiustificato (o no?). qualcuno saprebbe dirmi perché funziona e/o come andrebbe risolto l'esercizio?
Risposte
Ciao jinsang,
Per il teorema di integrazione delle serie di potenze e $\arctan x = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1}$, che vale per $|x| < 1$, è una serie di potenze; quindi si ha:
$frac{\arctan x}{x} = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n}$
per $|x| < 1$ ed è lecito scambiare integrale con serie, per cui si ha:
$\int_{0}^{1} frac{\arctan x}{x} dx = \int_{0}^{1} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n} dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} \int_{0}^{1} x^{2n} dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{(2n + 1)^2} [x^{2n + 1}]_0^{1} =$
$= \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{(2n + 1)^2} = C$
ove $C$ è la costante di Catalan: $C = 0,915965594177219015054603514932384110774149374281672134266...$
Per il teorema di integrazione delle serie di potenze e $\arctan x = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1}$, che vale per $|x| < 1$, è una serie di potenze; quindi si ha:
$frac{\arctan x}{x} = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n}$
per $|x| < 1$ ed è lecito scambiare integrale con serie, per cui si ha:
$\int_{0}^{1} frac{\arctan x}{x} dx = \int_{0}^{1} \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n} dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{2n + 1} \int_{0}^{1} x^{2n} dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{(2n + 1)^2} [x^{2n + 1}]_0^{1} =$
$= \sum_{n = 0}^{+\infty} frac{(-1)^n}{(2n + 1)^2} = C$
ove $C$ è la costante di Catalan: $C = 0,915965594177219015054603514932384110774149374281672134266...$
Grazie mille per la risposta pilloeffe, mi hai aperto un mondo!
Ma quindi c'è tutta una classe di funzioni che si possono scrivere come serie di potenze per un "intervallo apprezzabile" (non infinitesimo) di x? Se sì come si riconoscono tali funzioni? La loro serie di potenze è sempre un "riadattamento" del polinomio di taylor in un certo punto? E infine: queste sono cose che si dovrebbero vedere in un corso di analisi 1?
Perdonami per questa marea di domande probabilmente anche mal poste
Accetto volentieri anche solo dei riferimenti (link, dispense) come risposta.
Grazie ancora, saluti
Ma quindi c'è tutta una classe di funzioni che si possono scrivere come serie di potenze per un "intervallo apprezzabile" (non infinitesimo) di x? Se sì come si riconoscono tali funzioni? La loro serie di potenze è sempre un "riadattamento" del polinomio di taylor in un certo punto? E infine: queste sono cose che si dovrebbero vedere in un corso di analisi 1?
Perdonami per questa marea di domande probabilmente anche mal poste
Accetto volentieri anche solo dei riferimenti (link, dispense) come risposta.
Grazie ancora, saluti
"jinsang":
Grazie mille per la risposta pilloeffe, mi hai aperto un mondo!
Ma di niente, figurati...
"jinsang":
Ma quindi c'è tutta una classe di funzioni che si possono scrivere come serie di potenze per un "intervallo apprezzabile" (non infinitesimo) di x? Se sì come si riconoscono tali funzioni? La loro serie di potenze è sempre un "riadattamento" del polinomio di taylor in un certo punto? E infine: queste sono cose che si dovrebbero vedere in un corso di analisi 1?
Beh sì, sviluppi di Taylor e serie di potenze si dovrebbero vedere in un corso di Analisi 1, almeno ai miei tempi era così (mi sono laureato vent'anni fa...), non sono così ferrato sui programmi dei corsi di Analisi I attuali, ma direi proprio di sì; la costante di Catalan magari anche no...
"jinsang":
Accetto volentieri anche solo dei riferimenti (link, dispense) come risposta.
Materiale in rete ce n'è tantissimo (ad esempio qui) e anche su questo stesso forum se ne trova parecchio; ad esempio in questa discussione si determina la somma di una serie di potenze facendo uso delle proprietà delle serie di potenze e della serie geometrica, che è anch'essa una serie di potenze; in questa discussione si risolve un integrale non banale facendo uso ancora della serie geometrica. Ma ce ne sono altre, basta avere un po' di tempo e di pazienza e cercarle...
Ti ringrazio ancora per la pazienza e per il materiale che mi hai fornito.
Comunque nel mio corso di analisi 1 abbiamo lavorato un bel po' con i polinomi di Taylor, mentre le serie di potenze sono previste per il corso di analisi 2 (per questo la tua soluzione mi ha tanto stupito, pensavo che l'approssimazione con i polinomi potesse essere solo "puntuale" )
Comunque nel mio corso di analisi 1 abbiamo lavorato un bel po' con i polinomi di Taylor, mentre le serie di potenze sono previste per il corso di analisi 2 (per questo la tua soluzione mi ha tanto stupito, pensavo che l'approssimazione con i polinomi potesse essere solo "puntuale"
)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo