Integrale con sostituzione t-x

[liam-lover]

Volevo chiedervi se lo svolgimento di questo integrale fosse corretto.

$ int_()^() (x^2-1)sqrt(x^2-1) dx $
$ sqrt(x^2-1)=t-x $

Ricavo x elevando a 2:

$ x^2-1=t^2+x^2-2xt $
$ 2xt=t^2+1 $
$ x=(t^2+1)/(2t) $
Da cui: $ dx= dt/2 $

Inoltre:

$ sqrt(x^2-1)+x=t $
$ 1/(sqrt(x^2-1)+x)=1/t $
$ x-sqrt(x^2-1)=1/t $

Tenendo conto di t, $ sqrt(x^2-1)=((t-1/t)/2) $.
$ x^2-1=((t-1/t)/2)^2 $

$ int_()^() (x^2-1)sqrt(x^2-1) dx $= $ int_()^() ((t-1/t)/2)^3 dt/2 $ = $ 1/16 int_()^() (t-1)^3 dt $ = $ (t-1)^4/64 + C$ = $ (sqrt(x^2-1)+x-1)^4/64 + C $

[kika_17]

Ciao, c'è un errore nel calcolo di dx, hai sbagliato la derivata in funzione di "t"

"maxira":
Da cui: $ dx= dt/2 $

è un quoziente quindi devi derivarlo come tale, prova a rifare i conti

[liam-lover]

Io la svolgerei così:

$ dx=(2t(2t)-2t^2)/(4t^2) dt=(4t^2-2t^2)/(4t^2) dt=(2t^2)/(4t^2) dt =dt/2 $

Non va bene?

[DeltaEpsilon]

"maxira":Non va bene?

No,

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (\frac{x^2+1}{2x}) \)

\(\displaystyle \frac{2x(2x)-2(x^2+1)}{4x^2} \)

\(\displaystyle \frac{4x^2-2x^2-2}{4x^2} \)

\(\displaystyle \frac{2x^2-2}{4x^2} \)

\(\displaystyle \frac{x^2-1}{2x^2} \)

[liam-lover]

Hai ragione, non ho proprio considerato quel +1.

In questo caso ho:

$ dx=(4t^2-2t^2-2)/(4t^2)= (2t^2-2)/(4t^2)=2(t^2-1)/(4t^2)=(t^2-1)/(2t^2) dt $

Quindi:

$ int_()^() ((t-1/t)/(2))^3 (t^2-1)/(2t^2) dt = int_()^() ((t-1/t)/(2))^3 (t^2-1)/(2t^2) dt = 1/16 int_()^() ((t^2-1)/t)^3(t^2-1)/(t^2) dt = 1/16 int_()^() (t^2-1)^4/t^5 dt $

Solo che adesso non so continuare :/

[Reyzet]

Puoi provare con $x=cosh(t)$ ricordando che $cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$

[pilloeffe]

Ciao maxira,

Innanzitutto moltiplicherei:

$\int (x^2-1)sqrt(x^2-1) \text{d}x = \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x - \int sqrt(x^2-1) \text{d}x $

Poi calcolerei per parti i due integrali:
$ \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x = x^3/3 sqrt(x^2-1) - \int x^3/3 \cdot (2x)/(2sqrt(x^2-1)) \text{d}x = $
$ = x^3/3 sqrt(x^2-1) - 1/3 \int x^4/sqrt(x^2-1) \text{d}x = x^3/3 sqrt(x^2-1) - 1/3 \int (x^4 - 1 + 1)/sqrt(x^2-1) \text{d}x = $
$ = x^3/3 sqrt(x^2-1) - 1/3 \int ((x^2 - 1)(x^2 + 1))/sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/3 \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x = $
$ = x^3/3 sqrt(x^2-1) - 1/3 \int (x^2 + 1)sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/3 \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x = $
$ = x^3/3 sqrt(x^2-1) - 1/3 \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/3 \int sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/3 \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x $

Perciò si ha:

$ 4/3 \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x = x^3/3 sqrt(x^2-1) - 1/3 \int sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/3 \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x $
$ \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x = x^3/4 sqrt(x^2-1) - 1/4 \int sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/4 \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x = $
$ \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x = x^3/4 sqrt(x^2-1) - 1/4 \int sqrt(x^2-1) \text{d}x - 1/4 ln|x + sqrt(x^2-1) | $

Dunque alla fine il tutto si riduce a calcolare

$ \int sqrt(x^2-1) \text{d}x $

Procedendo ancora con una integrazione per parti si ha:

$ \int sqrt(x^2-1) \text{d}x = x sqrt(x^2-1) - \int x^2/sqrt(x^2-1) \text{d}x = x sqrt(x^2-1) - \int (x^2 - 1 + 1)/sqrt(x^2-1) \text{d}x = $
$ = x sqrt(x^2-1) - \int (x^2 - 1)/sqrt(x^2-1) \text{d}x - \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x = x sqrt(x^2-1) - \int sqrt(x^2-1) \text{d}x - \int 1/sqrt(x^2-1) \text{d}x $

Perciò si ha:

$ 2\int sqrt(x^2-1) \text{d}x = x sqrt(x^2-1) - ln|x + sqrt(x^2-1) | + C $
$ \int sqrt(x^2-1) \text{d}x = x/2 sqrt(x^2-1) - 1/2 ln|x + sqrt(x^2-1) | + c $

Pertanto si ha:

$ \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x = x^3/4 sqrt(x^2-1) - x/8 sqrt(x^2-1) + 1/8 ln|x + sqrt(x^2-1) | - 1/4 ln|x + sqrt(x^2-1) | + c = $
$ \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x = x/4 (x^2 - 1/2) sqrt(x^2-1) - 1/8 ln|x + sqrt(x^2-1) | + c $

In definitiva si ha:

$\int (x^2-1)sqrt(x^2-1) \text{d}x = \int x^2 sqrt(x^2-1) \text{d}x - \int sqrt(x^2-1) \text{d}x = $
$ = x/4 (x^2 - 1/2) sqrt(x^2-1) - 1/8 ln|x + sqrt(x^2-1) | - x/2 sqrt(x^2-1) + 1/2 ln|x + sqrt(x^2-1) | + c = $
$ = x/4 (x^2 - 5/2) sqrt(x^2-1) + 3/8 ln|x + sqrt(x^2-1) | + c = $
$ = 1/8[x(2x^2 - 5) sqrt(x^2-1) + 3 ln|x + sqrt(x^2-1) |] + c $