Integrale con sostituzione di eulero
Ciao non riesco proprio a risolvere il seguente integrale: $ int sqrt(x^2+1)dx $
La richiesta è di applicare la sostituzione di eulero $ sqrt(ax^2+bx+c)=t-sqrt(a)*x $ . $ sqrt(1+x^2)=t-x $ elevando tutto alla seconda ricavo x $ 1+x^2 = t^2-2tx+x^2 $ $ rarr $ $ x=(t^2-1)/(2t) $.
$ t-x=t-(t^2-1)/(2t) = (2t^2-t+1)/(2t)=(t^2+1)/(2t)$
$dx/dt=(4t^2-2t^2+2)/(4t^2)=(t^2+1)/(2t^2)$. Quindi sostituendo $ int sqrt(x^2+1)dx = int ((t/2+1/(2t))*(1/2+1/(2t^2)))dt=int (t/4+1/(2t)+1/(4t^3))dt=t^2/8+1/2ln|t|+1/(8t^2)$
essendo $ t= sqrt(1+x^2)+x$ quando lo sostituisco il risultato è errato. Infatti il risultato corretto è $1/2*{xsqrt(1+x^2)+ln(x+sqrt(1+x^2))}$
Anche se provo a sostituire ad x valore 1, per una verifica veloce, i due risultati sono diversi. Cosa sbaglio? Grazie
La richiesta è di applicare la sostituzione di eulero $ sqrt(ax^2+bx+c)=t-sqrt(a)*x $ . $ sqrt(1+x^2)=t-x $ elevando tutto alla seconda ricavo x $ 1+x^2 = t^2-2tx+x^2 $ $ rarr $ $ x=(t^2-1)/(2t) $.
$ t-x=t-(t^2-1)/(2t) = (2t^2-t+1)/(2t)=(t^2+1)/(2t)$
$dx/dt=(4t^2-2t^2+2)/(4t^2)=(t^2+1)/(2t^2)$. Quindi sostituendo $ int sqrt(x^2+1)dx = int ((t/2+1/(2t))*(1/2+1/(2t^2)))dt=int (t/4+1/(2t)+1/(4t^3))dt=t^2/8+1/2ln|t|+1/(8t^2)$
essendo $ t= sqrt(1+x^2)+x$ quando lo sostituisco il risultato è errato. Infatti il risultato corretto è $1/2*{xsqrt(1+x^2)+ln(x+sqrt(1+x^2))}$
Anche se provo a sostituire ad x valore 1, per una verifica veloce, i due risultati sono diversi. Cosa sbaglio? Grazie
Risposte
Hai sommato $t^2/8$ e $1/{8t^2}$? 
E poi dovresti razionalizzare. Credo che sia lì il tuo problema! (infatti il termine con il logaritmo è a posto).
E poi dovresti razionalizzare. Credo che sia lì il tuo problema! (infatti il termine con il logaritmo è a posto).
Ho provato a razionalizzare ma vinene fuori una cosa mostruosa, per questo ho provato a sostituire direttamente la x con un numero e calcolare il risultato con la calcolatrice. con x=1 il risultato corretto è 1,147 mentre a me risulta 1,631. con x=2 è 2,95 mentre a me 3,693... Dev'esserci un errore da qualche parte ma non riesco a trovarlo 
Ah, bé, scusa, non avevo guardato bene i segni. Certo che non ti viene bene. Hai sbagliato l'ultimo integrale.
[tex]$\int\frac{1}{t^3}\ dt=-\frac{1}{2t^2}+c$[/tex]
[tex]$\int\frac{1}{t^3}\ dt=-\frac{1}{2t^2}+c$[/tex]
Hai ragione. Grazie mille
Per curiosità, ho letto su un libro che si può anche utilizzare la formula $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)+t $ quindi senza il meno, solamente che nel mio integrale la t risulterebbe $ t=sqrt(1+x^2)-x $ pertanto nel risultato finale il logaritmo avrebbe il meno quindi sarebbe sbagliato. E un ultima domanda, c'è una dimostrazione di queste formule di eulero? grazie
Se fai i calcoli con questa sostituzione ti accorgerai che, in ogni caso, viene la stessa soluzione. prova!
Per quanto riguarda la "dimostrazione", in realtà la scelta di questa sostituzione sta dietro una logica molto semplice: se sostituissi [tex]$\sqrt{ax^2+bx+c}=t$[/tex] ovviamente avrei due problemi: il primo è che la radice, alla fine, non sparirebbe, il secondo è il calcolo della $x$ rispetto a $t$. Allora faccio questo ragionamento: il problema nella precedente sostituzione sta nel portarsi dietro il termine $ax^2$, quindi mi conviene farlo sparire. Con una qualsiasi delle sostituzioni [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm\sqrt{a} x$[/tex] ottengo tutto ciò ed inoltre riesco a determinare il valore della $x$ in maniera semplice (perché risolvo una equazione di primo grado!).
Un'ultima osservazione: nota che
[tex]$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{1+x^2-x^2}=\sqrt{1+x^2}+x$[/tex]
per cui le due sostituzioni proposte sono l'una la reciproca dell'altra e questo dovrebbe suggerirti perché il risultato dell'integrale risulta sempre lo stesso.
Per quanto riguarda la "dimostrazione", in realtà la scelta di questa sostituzione sta dietro una logica molto semplice: se sostituissi [tex]$\sqrt{ax^2+bx+c}=t$[/tex] ovviamente avrei due problemi: il primo è che la radice, alla fine, non sparirebbe, il secondo è il calcolo della $x$ rispetto a $t$. Allora faccio questo ragionamento: il problema nella precedente sostituzione sta nel portarsi dietro il termine $ax^2$, quindi mi conviene farlo sparire. Con una qualsiasi delle sostituzioni [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm\sqrt{a} x$[/tex] ottengo tutto ciò ed inoltre riesco a determinare il valore della $x$ in maniera semplice (perché risolvo una equazione di primo grado!).
Un'ultima osservazione: nota che
[tex]$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{1+x^2-x^2}=\sqrt{1+x^2}+x$[/tex]
per cui le due sostituzioni proposte sono l'una la reciproca dell'altra e questo dovrebbe suggerirti perché il risultato dell'integrale risulta sempre lo stesso.
"ciampax":
Hai sommato $t^2/8$ e $1/{8t^2}$?
$ (t^2/8 - 1/(8t^2)) = (t^4 - 1) / (8 t^2) = ((sqrt (1 + x ^2) + x)^4 - 1)/ (8(sqrt(1+x^2) + x)^2 ) $
e poi?
Grazie, saluti
Razionalizzi: poiché
$$\frac{1}{t}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}=\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{1+x^2-x^2}=\sqrt{1+x^2}-x$$
allora
$$\frac{t^2}{8}-\frac{1}{8t^2}=\frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^2-(\sqrt{1+x^2}-x)^2}{8}=\frac{1+x^2+x^2+2x\sqrt{1+x^2}-1-x^2-x^2+2x\sqrt{1+x^2}}{8}=\frac{4x\sqrt{1+x^2}}{8}=\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}$$
$$\frac{1}{t}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}=\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{1+x^2-x^2}=\sqrt{1+x^2}-x$$
allora
$$\frac{t^2}{8}-\frac{1}{8t^2}=\frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^2-(\sqrt{1+x^2}-x)^2}{8}=\frac{1+x^2+x^2+2x\sqrt{1+x^2}-1-x^2-x^2+2x\sqrt{1+x^2}}{8}=\frac{4x\sqrt{1+x^2}}{8}=\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}$$
Infinitamente grazie 
!mi ero blccato paurosamente.... Saluti, alla prossima
!mi ero blccato paurosamente.... Saluti, alla prossima
altri grattacapi 
con questo integrale $ int_()^() sqrt (1 + 4 x^2) dx $
svolgendo tutti i calcoli ottengo questo: $ 1/4 ln |t| + 1/4 t^2 - 1/(64 t^2) $
dopo aver razionalizzato $ 1/t = 4 sqrt (1/4+x^2) -x $ e andando a sostituire i conti non mi tornano.. 
GRAZIE
con questo integrale $ int_()^() sqrt (1 + 4 x^2) dx $ svolgendo tutti i calcoli ottengo questo: $ 1/4 ln |t| + 1/4 t^2 - 1/(64 t^2) $
dopo aver razionalizzato $ 1/t = 4 sqrt (1/4+x^2) -x $ e andando a sostituire i conti non mi tornano..
GRAZIE
si fa tranquillamente (o quasi) per parti, ponendo come fattore differenziale 1 e fattore finito la funzione integranda...
$ int_( )^( ) sqrt(1+4x^2) dx = xsqrt(1+4x^2)-int_( )^( ) x1/2 8x/sqrt(1+4x^2) dx $
$ = xsqrt(1+4x^2)-int_()^()4x^2/sqrt(1+4x^2) dx =xsqrt(1+4x^2)-int_()^() (1+4x^2-1)/sqrt(1+4x^2)dx $
$ = xsqrt(1+4x^2)-int_()^() sqrt(1+4x^2)dx +int_()^() (1)/sqrt(1+4x^2)dx $
per cui:
$ 2int_()^() sqrt(1+4x^2)dx = xsqrt(1+4x^2) +int_()^() (1)/sqrt(1+4x^2)dx $
$ = x/2sqrt(1+4x^2) +1/4int_()^() (1)/sqrt(1+(2x)^2)(2x+sqrt(1+(2x)^2))/(2x+sqrt(1+(2x)^2))d(2x) $
ovvero:
$ x/2sqrt(1+4x^2) +1/4int_()^()(1+2x/sqrt(1+(2x)^2))/(2x+sqrt(1+(2x)^2))d(2x) $
$ x/2sqrt(1+4x^2)+1/4log| 2x+sqrt(1+(2x)^2)|+C $
ti risulta?
$ int_( )^( ) sqrt(1+4x^2) dx = xsqrt(1+4x^2)-int_( )^( ) x1/2 8x/sqrt(1+4x^2) dx $
$ = xsqrt(1+4x^2)-int_()^()4x^2/sqrt(1+4x^2) dx =xsqrt(1+4x^2)-int_()^() (1+4x^2-1)/sqrt(1+4x^2)dx $
$ = xsqrt(1+4x^2)-int_()^() sqrt(1+4x^2)dx +int_()^() (1)/sqrt(1+4x^2)dx $
per cui:
$ 2int_()^() sqrt(1+4x^2)dx = xsqrt(1+4x^2) +int_()^() (1)/sqrt(1+4x^2)dx $
$ = x/2sqrt(1+4x^2) +1/4int_()^() (1)/sqrt(1+(2x)^2)(2x+sqrt(1+(2x)^2))/(2x+sqrt(1+(2x)^2))d(2x) $
ovvero:
$ x/2sqrt(1+4x^2) +1/4int_()^()(1+2x/sqrt(1+(2x)^2))/(2x+sqrt(1+(2x)^2))d(2x) $
$ x/2sqrt(1+4x^2)+1/4log| 2x+sqrt(1+(2x)^2)|+C $
ti risulta?
oppure una soluzione "creativa" come questa:
$ int_( )^( )sqrt(1+4x^2) dx =1/2int_( )^( ) sqrt(1+(2x)^2) d(2x) $
pongo y=2x e ottengo:
$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)1/(1+y^2)dy $
$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)d/dyarctan(y)dy $
$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)darctan(y) $
ovvero:
$ 1/2int_( )^( ) 1/(cos^3(u))du $
essendo:
$ cos^2(u)=1/(y^2+1) $
ed avendo posto
$ u= arctan(y) $
risolvere 1/cos^3 è semplicissimo...
(spero di essere stato utile....per ogni chiarimento non esitare a chiedere...)
$ int_( )^( )sqrt(1+4x^2) dx =1/2int_( )^( ) sqrt(1+(2x)^2) d(2x) $
pongo y=2x e ottengo:
$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)1/(1+y^2)dy $
$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)d/dyarctan(y)dy $
$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)darctan(y) $
ovvero:
$ 1/2int_( )^( ) 1/(cos^3(u))du $
essendo:
$ cos^2(u)=1/(y^2+1) $
ed avendo posto
$ u= arctan(y) $
risolvere 1/cos^3 è semplicissimo...
(spero di essere stato utile....per ogni chiarimento non esitare a chiedere...)
"Frasandro":
altri grattacapi
svolgendo tutti i calcoli ottengo questo: $ 1/4 ln |t| + 1/4 t^2 - 1/(64 t^2) $
dopo aver razionalizzato $ 1/t = 4 sqrt (1/4+x^2) -x $ e andando a sostituire i conti non mi tornano..
GRAZIE
Ho risolto l'esercizio tramite le sostituzioni di Eulero, ponendo semplicemente $ sqrt (1 + 4 x^2) = t-2x $ , svolgendo tutti i calcoli ottengo perfettamente il risultato del libro
!! Alla prossima 
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