Integrale con sostituzione
per favore potreste controllare come ho risolto questo integrale?perchè credo di aver fatto qualche errore...
allora...
$ int sqrt(9-x^2) / x^2 dx $ faccio le seguenti sostituzioni: x=a*sen(t) dx= a*cos(t)dt dove a=3 DOMANDA: t a quanto è uguale?perchè poi mi servirà alla fine...
$ int sqrt(9-9sin^2(t)) / (9sin^2(t)) * 3cos(t)dt = $
$ = int sqrt(9(1-sin^2(t))) / (3sin^2(t)) * cos(t)dt = $
$ = 1/3 int |3cos(t)| / (sin^2(t)) * cos(t)dt = $
$ = 3/3 int (cos^2(t))/ (sin^2(t)) * dt = $
$ =int (1-sin^2(t))/ (sin^2(t)) * dt = $
$ =int 1/ (sin^2(t)) * dt - int (sin^2(t))/(sin^2(t))* dt = $
$ = - cotg(t)-t $
non so se con il modulo e in tutti gli altri passaggi ho fatto qualche errore algebrico.
se però fosse giusto non so ricavarmi t dall'equazione x=a*sen(t)
mi sapreste aiutare? grazie
allora...
$ int sqrt(9-x^2) / x^2 dx $ faccio le seguenti sostituzioni: x=a*sen(t) dx= a*cos(t)dt dove a=3 DOMANDA: t a quanto è uguale?perchè poi mi servirà alla fine...
$ int sqrt(9-9sin^2(t)) / (9sin^2(t)) * 3cos(t)dt = $
$ = int sqrt(9(1-sin^2(t))) / (3sin^2(t)) * cos(t)dt = $
$ = 1/3 int |3cos(t)| / (sin^2(t)) * cos(t)dt = $
$ = 3/3 int (cos^2(t))/ (sin^2(t)) * dt = $
$ =int (1-sin^2(t))/ (sin^2(t)) * dt = $
$ =int 1/ (sin^2(t)) * dt - int (sin^2(t))/(sin^2(t))* dt = $
$ = - cotg(t)-t $
non so se con il modulo e in tutti gli altri passaggi ho fatto qualche errore algebrico.
se però fosse giusto non so ricavarmi t dall'equazione x=a*sen(t)
mi sapreste aiutare? grazie
Risposte
"julio85":
x=a*sen(t) dx= a*cos(t)dt dove a=3 DOMANDA: t a quanto è uguale?
[tex]$\[t = \arcsin (\frac{x}{a})\]$[/tex]
grazie piero....
ma gli altri calcoli sono giusti? inoltre se $ t = arcsin(x/a) $ poi $ -cotg(t) $ come lo espimo in funzione di x?
diventerebbe $ -cotg(arcsin(x/a)) $ ????
ma gli altri calcoli sono giusti? inoltre se $ t = arcsin(x/a) $ poi $ -cotg(t) $ come lo espimo in funzione di x?
diventerebbe $ -cotg(arcsin(x/a)) $ ????
"julio85":
$ t = arcsin(x/a) $ poi $ -cotg(t) $ come lo espimo in funzione di x? diventerebbe $ -cotg(arcsin(x/a)) $
sì.
[tex]$\[{\rm cotg}(\arcsin \alpha ) = \frac{{\cos (\arcsin \alpha )}}{{\sin (\arcsin \alpha )}} = \frac{{\sqrt {1 - (\sin (\arcsin \alpha ))^2 } }}{\alpha }\]$[/tex]
da cui:
[tex]$\[{\rm cotg}(\arcsin \alpha ) = \frac{{\sqrt {1 - \alpha ^2 } }}{\alpha }\]$[/tex]
"julio85":
grazie piero....
ma gli altri calcoli sono giusti? inoltre se $ t = arcsin(x/a) $ poi $ -cotg(t) $ come lo espimo in funzione di x?
diventerebbe $ -cotg(arcsin(x/a)) $ ????
$ -cotg(arcsin(x/a)) = - \sqrt(1-(x/a)^2) /(x/a)$
"julio85":
ma gli altri calcoli sono giusti?
mi sembrano giusti. Il tuo integrale ha come risultato:
[tex]$\[\int {\frac{{\sqrt {9 - x^2 } }}{{x^2 }} \cdot dx} = - \frac{{\sqrt {9 - x^2 } }}{x} - \arcsin \frac{x}{3} + c\]$[/tex]
mm....ci siamo quasi,mi manca un ultimo passaggio 
$ -cotg(arcsin(x/3)) = - sqrt(1-(x/3)^2) / (x/3) = - sqrt(1-x^2/9 ) * 3/x = ... = - sqrt (9-x^2)/ x $
mi manca quel passaggio dove ho messo i puntini
$ -cotg(arcsin(x/3)) = - sqrt(1-(x/3)^2) / (x/3) = - sqrt(1-x^2/9 ) * 3/x = ... = - sqrt (9-x^2)/ x $
mi manca quel passaggio dove ho messo i puntini
niente di speciale, solo conti
[tex]$\[{\rm - }\sqrt {\frac{{{\rm 9 - x}^{\rm 2} }}{{\rm 9}}} \cdot \frac{3}{x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3}\sqrt {9 - x^2 } = - \frac{{\sqrt {9 - x^2 } }}{x}
\]$[/tex]
[tex]$\[{\rm - }\sqrt {\frac{{{\rm 9 - x}^{\rm 2} }}{{\rm 9}}} \cdot \frac{3}{x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3}\sqrt {9 - x^2 } = - \frac{{\sqrt {9 - x^2 } }}{x}
\]$[/tex]
grazie mille piero sei stato gentilissimo! è incredibile ma quando mi "incarto" su un esercizio non riesco più a vedere nemmeno i passaggi semplici....grazie ancora!
prego !
ciao.
ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo