Integrale con sostituzione
$int(1/(x^2))(cos^3(1/x)+sin(1/x))$
Io questo integrale lo sto provando a risolvere per doppia sostituzione
Ovvero
$(1/x)=t$
$dx=(-1/t^2)dt$
ottenendo
$-int(cos^3t+sintdt)$
se ora applico un altra sostituzione
$cost=y$
$dy=-sintdt$
$inty^3dy$
il mio problema è innanzitutto se si può fare ma secondo come ottengo il risultato da quest'ultimo integrale?
Io questo integrale lo sto provando a risolvere per doppia sostituzione
Ovvero
$(1/x)=t$
$dx=(-1/t^2)dt$
ottenendo
$-int(cos^3t+sintdt)$
se ora applico un altra sostituzione
$cost=y$
$dy=-sintdt$
$inty^3dy$
il mio problema è innanzitutto se si può fare ma secondo come ottengo il risultato da quest'ultimo integrale?
Risposte
La prima sostituzione è corretta per semplificare il calcolo, la seconda è sbagliatissima proprio concettualmente: per venirti $y^3$ sostituendo $\cos t =y$ avresti dovuto avere una funzione integranda del tipo $- \cos^3 t \cdot \sin t$, mentre tu hai una somma.
Perciò devi percorrere un'altra strada per risolvere l'integrale di $-\( \cos^3 t + \sin t)$.
Perciò devi percorrere un'altra strada per risolvere l'integrale di $-\( \cos^3 t + \sin t)$.
ho provato a spezzare l'integrale $-intcos^3t-intsint$
risolvendo $cos^3t=sint-(sin^3t)/3$
quindi il risultato finale è $-sin(1/x)+(sin^3(1/x))/3)+cos(1/x)+c$
ma non mi trovo
risolvendo $cos^3t=sint-(sin^3t)/3$
quindi il risultato finale è $-sin(1/x)+(sin^3(1/x))/3)+cos(1/x)+c$
ma non mi trovo
Perché non ti trovi? Sembra corretto, hai provato a fare a derivata? Forse c'è qualche errore di segno nelle integrazioni, capita spesso con questi integrali di seno e coseno.
Non ho capito se il risultato finale è il tuo o quello della soluzione, se è il tuo è corretto
Non ho capito se il risultato finale è il tuo o quello della soluzione, se è il tuo è corretto
su wolfram da un altro risultato
I calcolatori esprimono le primitive nelle maniere più disparate, proprio perché sono calcolatori! Una primitiva può essere espressa in tanti modi. Se vuoi la conferma (sicura), fai la derivata della primitiva; se ti viene la funzione integranda è corretto al 100%.
ok grazie...
sempre rimanendo in tema di questi tipi di integrale propongo questo...
$int(sinxcosx)/(sin^2x+4sinx+3)$
ho provato a fare la sostituzione $sinx=t$ $dxcosx=dt$
ottenendo
$int(t/(t^2+4t+3))$
quel $sinxcosx$ però mi turba non so se va bene la sostituzione cosi
sempre rimanendo in tema di questi tipi di integrale propongo questo...
$int(sinxcosx)/(sin^2x+4sinx+3)$
ho provato a fare la sostituzione $sinx=t$ $dxcosx=dt$
ottenendo
$int(t/(t^2+4t+3))$
quel $sinxcosx$ però mi turba non so se va bene la sostituzione cosi
Ti perdi $\text{d}x$ e $\text{d}t$, vanno messi.
Guarda, per non sbagliarti basta notare che quando sostituisci $f(x)=g(y)$, segue che $f'(x)\text{d}x=g'(y)\text{d}y$; perciò quando vuoi "inglobare" una funzione, devi trovarti in una situazione simile
$$\int f(x) \cdot f'(x) \text{d}x$$
Infatti, sostituendo $f(x)=g(y)$ hai
$$\int g(y) \text{d}y$$
Proprio perché tutto il "blocco" $f'(x) \text{d}x=\text{d}y$, per quanto ho scritto sopra
Nel primo integrale che hai scritto la seconda sostituzione era sbagliata proprio perché c'era una somma, quindi questo fenomeno non si verificava; in quest'ultimo che hai scritto invece va bene, per quello che ho scritto prima.
Guarda, per non sbagliarti basta notare che quando sostituisci $f(x)=g(y)$, segue che $f'(x)\text{d}x=g'(y)\text{d}y$; perciò quando vuoi "inglobare" una funzione, devi trovarti in una situazione simile
$$\int f(x) \cdot f'(x) \text{d}x$$
Infatti, sostituendo $f(x)=g(y)$ hai
$$\int g(y) \text{d}y$$
Proprio perché tutto il "blocco" $f'(x) \text{d}x=\text{d}y$, per quanto ho scritto sopra
Nel primo integrale che hai scritto la seconda sostituzione era sbagliata proprio perché c'era una somma, quindi questo fenomeno non si verificava; in quest'ultimo che hai scritto invece va bene, per quello che ho scritto prima.
ok ti ringrazio
Ciao lepre561,
Qui di seguito una soluzione elegante del primo integrale che hai proposto, che mi ha incuriosito, senza alcuna sostituzione. Si ha:
$ \int(1/(x^2))(cos^3(1/x)+sin(1/x))\text{d}x = \int 1/(x^2)[cos(1/x)cos^2(1/x)+sin(1/x)]\text{d}x = $
$ = \int 1/(x^2)[cos(1/x)(1 - sin^2(1/x))+sin(1/x)]\text{d}x = \int 1/(x^2)[cos(1/x) - sin^2(1/x) cos(1/x) +sin(1/x)]\text{d}x $
$ = \int \frac{cos(1/x)}{x^2} \text{d}x - \int \frac{sin^2(1/x) cos(1/x)}{x^2} \text{d}x + \int \frac{sin(1/x)}{x^2}\text{d}x = $
$ = - sin(1/x) + 1/3 sin^3(1/x) + cos(1/x) + c $
Qui di seguito una soluzione elegante del primo integrale che hai proposto, che mi ha incuriosito, senza alcuna sostituzione. Si ha:
$ \int(1/(x^2))(cos^3(1/x)+sin(1/x))\text{d}x = \int 1/(x^2)[cos(1/x)cos^2(1/x)+sin(1/x)]\text{d}x = $
$ = \int 1/(x^2)[cos(1/x)(1 - sin^2(1/x))+sin(1/x)]\text{d}x = \int 1/(x^2)[cos(1/x) - sin^2(1/x) cos(1/x) +sin(1/x)]\text{d}x $
$ = \int \frac{cos(1/x)}{x^2} \text{d}x - \int \frac{sin^2(1/x) cos(1/x)}{x^2} \text{d}x + \int \frac{sin(1/x)}{x^2}\text{d}x = $
$ = - sin(1/x) + 1/3 sin^3(1/x) + cos(1/x) + c $
Prova a sempllificarti la vita. Nota che:
$int(sinxcosx)/(sin^2x+4sinx+3)dx=int(sinxcosx)/((sinx+2)^2-1)dx$
Sostituisci $u=sinx+2$ ed ottieni:
$int(u-2)/(u^2-1)du=(3/2)int 1/(u+1)du-(1/2)int 1/(u-1)du$
$int(sinxcosx)/(sin^2x+4sinx+3)dx=int(sinxcosx)/((sinx+2)^2-1)dx$
Sostituisci $u=sinx+2$ ed ottieni:
$int(u-2)/(u^2-1)du=(3/2)int 1/(u+1)du-(1/2)int 1/(u-1)du$
alla fine della fiera ti trovi che viene
$(3/2)ln|sinx+3|-(1/2)|sinx+1|+c$
$(3/2)ln|sinx+3|-(1/2)|sinx+1|+c$
"lepre561":
alla fine della fiera ti trovi che viene
$(3/2)ln|sinx+3|-(1/2)|sinx+1|+c$
Sbagliato
scusa ma l'integrale proposto da me dopo la sostituzione viene$intt/((t+3)(t+1)$ ?
"lepre561":
scusa ma l'integrale proposto da me dopo la sostituzione viene$intt/((t+3)(t+1)$ ?
Ma hai seguito il mio post?
E comunque nel post precedente scherzavo...avevi solo dimenticato un "ln" nella soluzione
ahahahah sei perfido
Poi in realtà i valori assoluti negli argomenti dei logaritmi non servono. Perché?
'
'
"pilloeffe":
Poi in realtà i valori assoluti negli argomenti dei logaritmi non servono. Perché?'
Solo uno non serve, no?
Errata Corrige...hai ragione
"pilloeffe":
Poi in realtà i valori assoluti negli argomenti dei logaritmi non servono. Perche?
'
al $|sinx+3|$ concordo perchè dato che il seno puo assumere valori tra $-+1$
ma all'altro non sono convinto perche potrebbe uscire anche zero...
"lepre561":
ma all'altro non sono convinto perche potrebbe uscire anche zero...
Potrebbe risultare zero solo in un caso, ed in quel caso il valore assoluto non aiuterebbe...
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