Integrale con sostituzione
$\int_{1}^{5} 1/(x + sqrt(2x - 1)) dx$
Applico sostituzione con $sqrt(2x - 1) = t$
Mi ritrovo alla fine con questa espressione:
$\int (2t)/((t + 1)^2) dt$
Però non posso ne applicare la divisone perchè il grado dell'esponente del numeratore è minore di del grado dell'esponente del denominatore. Allora cerco di applicare il metodo A+B, ma mi accorgo che non si può applicare in questo caso.
Ho osservato anche se il numeratore è la derivata del denominatore, in modo da applicare l'integrale immediato del logaritmo naturale, ma ho verificato, ma non è cosi..
Qualcuno mi mostra un'altra strada da intraprendere? Anche solo un input..
Applico sostituzione con $sqrt(2x - 1) = t$
Mi ritrovo alla fine con questa espressione:
$\int (2t)/((t + 1)^2) dt$
Però non posso ne applicare la divisone perchè il grado dell'esponente del numeratore è minore di del grado dell'esponente del denominatore. Allora cerco di applicare il metodo A+B, ma mi accorgo che non si può applicare in questo caso.
Ho osservato anche se il numeratore è la derivata del denominatore, in modo da applicare l'integrale immediato del logaritmo naturale, ma ho verificato, ma non è cosi..
Qualcuno mi mostra un'altra strada da intraprendere? Anche solo un input..
Risposte
$\frac{2t}{(t+1)^2} = \frac{2t}{t^2+2t+1} = \frac{2t+2-2}{t^2+2t-1} = \frac{2t+2}{t^2+2t+1} -\frac{2}{t^2+2t+1} = \frac{2t+2}{t^2+2t+1}-2\frac{1}{(t+1)^2}$
Da qui dovresti saper continuare!
Da qui dovresti saper continuare!
Cosi non diventano integrati entrambi dei logaritmi naturali?
No, il primo è:
$\int \frac{2t+2}{t^2+2t+1}dt= \log(t^2+2t+1) + c$
Il secondo è:
$2 \int -\frac{1}{(t+1)^2} dt = \frac{2}{t+1} +c$
$\int \frac{2t+2}{t^2+2t+1}dt= \log(t^2+2t+1) + c$
Il secondo è:
$2 \int -\frac{1}{(t+1)^2} dt = \frac{2}{t+1} +c$
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