Integrale con sostituzione
Ho l'integrale $\int_{3}^{7} (x - \sqrt(2x - 5))^-1 dx$
Facendo sostituzione mi ritrovo da calcolare l'integrale $\int t/ (t^2 + 5 - 2t)dt$
Qua mi sono bloccato perchè:
1) non posso applicare la divisone perchè l'esponente del numeratore è di grado minore del denominatore
2) non posso utilizzare il caso in cui scompongo l'integrale in A + B, e trovandomi A e B riesco a ricondurmi a degli integrali immediati. Il motivo per cui non riesco è perchè al denominatore ho provato a scomporlo, però il delta mi viene un numero con la virgola, quindi si complicherebbe di più la situazione.
Qualcuno sa darmi un input sulla strada da intraprendere, poi il resto dei calcoli mi arrangio da solo..
Facendo sostituzione mi ritrovo da calcolare l'integrale $\int t/ (t^2 + 5 - 2t)dt$
Qua mi sono bloccato perchè:
1) non posso applicare la divisone perchè l'esponente del numeratore è di grado minore del denominatore
2) non posso utilizzare il caso in cui scompongo l'integrale in A + B, e trovandomi A e B riesco a ricondurmi a degli integrali immediati. Il motivo per cui non riesco è perchè al denominatore ho provato a scomporlo, però il delta mi viene un numero con la virgola, quindi si complicherebbe di più la situazione.
Qualcuno sa darmi un input sulla strada da intraprendere, poi il resto dei calcoli mi arrangio da solo..
Risposte
Ciao jarrod,
$\int t/ (t^2 - 2t + 5)dt = \frac{1}2 \int frac{2t - 2}{t^2 - 2t + 5} dt + \int frac{1}{t^2 - 2t + 5} dt = $
$ = frac{1}{2}\ln(t^2 - 2t + 5) + \int frac{1}{(t - 1)^2 + 4} dt $
Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente...
$\int t/ (t^2 - 2t + 5)dt = \frac{1}2 \int frac{2t - 2}{t^2 - 2t + 5} dt + \int frac{1}{t^2 - 2t + 5} dt = $
$ = frac{1}{2}\ln(t^2 - 2t + 5) + \int frac{1}{(t - 1)^2 + 4} dt $
Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente...
Ma come mai il primo integrale diventa un $ln$, non vedo presente un integrale $int 1/(t^2 - 2t + 5)$
Non riesco a capire che passaggio hai fatto..
Non riesco a capire che passaggio hai fatto..
L'integrale è di risoluzione immediata: il numeratore è la derivata del denominatore...
Quindi mi vorresti dire che se trovo in un integrale il numeratore che è la derivata del denominatore, allora l'integrale è il logaritmo naturale con argomento il denominatore?
Ciao jarrod,
Beh, sì, non l'ho inventata io, è una ben nota regola di integrazione:
$int (f '(x))/( f(x)) dx = ln|f(x)| + c$
Nel tuo caso il modulo non è necessario perché il trinomio ha $\Delta < 0$ per cui è sempre positivo.
Beh, sì, non l'ho inventata io, è una ben nota regola di integrazione:
$int (f '(x))/( f(x)) dx = ln|f(x)| + c$
Nel tuo caso il modulo non è necessario perché il trinomio ha $\Delta < 0$ per cui è sempre positivo.
okay grazie mille! 
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