Integrale con seno iperbolico: AIUTO
Ho da calcolare il seguente integrale
$\int \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) dx$. Pensavo di procedere per parti, quindi $f'(x) = 1$ e $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) $e quindi $g'(x) = \frac{8 cosh(x) senh(x)}{2\sqrt(1 + 4senh^{2}(x))} $.
Allora $\int \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) dx = fg - \int f g' = x \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) - \int \frac{8 x cosh(x) senh(x)}{2\sqrt(1 + 4senh^{2}(x))} dx$.
L'ultimo integrale lo risolverei di nuovo per parti però non mi porta da nessuna parte .... in quanto mi viene alla fine un bellissimo 0 a destra dell'uguaglianza....
Come risolvo questo integrale mi date un consiglio ?
$\int \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) dx$. Pensavo di procedere per parti, quindi $f'(x) = 1$ e $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) $e quindi $g'(x) = \frac{8 cosh(x) senh(x)}{2\sqrt(1 + 4senh^{2}(x))} $.
Allora $\int \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) dx = fg - \int f g' = x \sqrt(1 + 4 senh^{2} (x)) - \int \frac{8 x cosh(x) senh(x)}{2\sqrt(1 + 4senh^{2}(x))} dx$.
L'ultimo integrale lo risolverei di nuovo per parti però non mi porta da nessuna parte .... in quanto mi viene alla fine un bellissimo 0 a destra dell'uguaglianza....
Come risolvo questo integrale mi date un consiglio ?
Risposte
Ciao Desirio,
Sicuro del testo?
La soluzione di quell'integrale coinvolge l'integrale ellittico di seconda specie $E(ix | m) $ con parametro $m = k^2 = 4$...
Sicuro del testo?
La soluzione di quell'integrale coinvolge l'integrale ellittico di seconda specie $E(ix | m) $ con parametro $m = k^2 = 4$...
Ciao, grazie per la risposta...
In realtà ho un es. in cui dovrei calcolare la lunghezza di una curva parametrizzata con parametro $t \in [0, \pi]$ e la curva $\gamma = (2t, 0, 2cosh(2t))$ e quindi per la lunghezza devo calcolare la derivata della curva $\gamma$ e prendere poi l'integrale della norma della derivata e da quello mi sono ricondotta all'integrale che ho scritto... Solo che non riesco a risolverlo.. Forse ho sbagliato qualcosa... non so ..
La derivata viene $\gamma' = (2, 0, 4 senh(2t))$ e la norma della derivata viene $\sqrt( 4 + 16 senh^{2}(2t))$ e quindi integrando questa ultima fra $0$ e $\pi$ dovrei ottene rel'integrale che ho scritto precedentemente calcolato fra $0$ e $2\pi$.
Su wolph mi da anche un valore numerico... ma non saprei come risolverlo questo ...
In realtà ho un es. in cui dovrei calcolare la lunghezza di una curva parametrizzata con parametro $t \in [0, \pi]$ e la curva $\gamma = (2t, 0, 2cosh(2t))$ e quindi per la lunghezza devo calcolare la derivata della curva $\gamma$ e prendere poi l'integrale della norma della derivata e da quello mi sono ricondotta all'integrale che ho scritto... Solo che non riesco a risolverlo.. Forse ho sbagliato qualcosa... non so ..
La derivata viene $\gamma' = (2, 0, 4 senh(2t))$ e la norma della derivata viene $\sqrt( 4 + 16 senh^{2}(2t))$ e quindi integrando questa ultima fra $0$ e $\pi$ dovrei ottene rel'integrale che ho scritto precedentemente calcolato fra $0$ e $2\pi$.
Su wolph mi da anche un valore numerico... ma non saprei come risolverlo questo ...
"Desirio":
Su wolph mi da anche un valore numerico...
Ah, non lo metto in dubbio, infatti si ha:
$\int_0^{\pi} \sqrt{1 + 4 \sinh^2(2t)} \text{d}t = - i/2 E(2\pi i | 4) ~~ 267,074 $
Ciò che metto in dubbio, semmai, è che possano averti assegnato un esercizio del genere... Se non sono indiscreto, per quale esame stai studiando?
Per un esame del secondo anno della triennale di matematica (geometria differenziale). Possibile vi siano integrali di questo tipo? Ancora non ne abbiamo visti ...
"pilloeffe":
[quote="Desirio"]Su wolph mi da anche un valore numerico...
Ah, non lo metto in dubbio, infatti si ha:
$\int_0^{\pi} \sqrt{4 + 16\sinh^2(2t)} \text{d}t = - i/2 E(2\pi i | 4) ~~ 267,074 $
Ciò che metto in dubbio, semmai, è che possano averti assegnato un esercizio del genere... Se non sono indiscreto, per quale esame stai studiando?[/quote]
Comunque se non erro viene il doppio... 534 e qualcosa..
"Desirio":
Per un esame del secondo anno della triennale di matematica (geometria differenziale). Possibile vi siano integrali di questo tipo? Ancora non ne abbiamo visti...
Ti dirò, mi sembra molto, ma molto strano: è vero che sono passati un po' di anni, ma quegli integrali ellittici li ho visti accennati solo in Complementi di Matematiche, che adesso dovrebbe chiamarsi qualcosa del tipo Analisi matematica III o IV... L'esercizio te l'ha proposto il professore o è su qualche testo?
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