Integrale con seno iperbolico
Probabilmente è semplice ma non mi riesce proprio:
Integrale sen3xsenx dx
Ho provato il metodo di integrazuine oer parti ma non è utile, cambio solo seno con coseno, ho provato con la sostituzione e il problema è lo stesso.. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie in anticipo!
Integrale sen3xsenx dx
Ho provato il metodo di integrazuine oer parti ma non è utile, cambio solo seno con coseno, ho provato con la sostituzione e il problema è lo stesso.. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, devi risolvere usando le formule di triplicazione per il seno.
Se non te le ricordi (come me), è facile ricavarle:
$sin3x = sin(x + 2x)$
Applichi quindi le formule di addizione del seno $sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny$ da cui ottieni
$sin3x = sin(x + 2x) = sinxcos2x+cosxsin2x$
Usando ora le forumule di duplicazione per seno e coseno:
$cos2x = cos^{2}x - sin^{2}x = 1 - 2sin^{2}x$
$sin2x = 2sinxcosx$
e quindi ottieni
$sin3x = sin(x + 2x) = sinxcos2x+cosxsin2x = sinx(1- 2sin^{2}x) + cosx(2sinxcosx)$
e quindi, sistemando l'espressione
$sin3x = sinx - 2sin^{3}x + 2 sinxcos^{2}x $
inserendo quindi nell'integrale ottieni:
$int(sinx - 2sin^{3}x + 2 sinxcos^{2}x)sinxdx$
e moltiplicando ottieni
$int(sin^{2}x - 2sin^{4}x + 2 sin^{2}xcos^{2}x)dx$
che risolvi separando le varie parti ed integrandole singolarmente.
EDIT: Sistemato errore di copiatura dal foglio
Se non te le ricordi (come me), è facile ricavarle:
$sin3x = sin(x + 2x)$
Applichi quindi le formule di addizione del seno $sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny$ da cui ottieni
$sin3x = sin(x + 2x) = sinxcos2x+cosxsin2x$
Usando ora le forumule di duplicazione per seno e coseno:
$cos2x = cos^{2}x - sin^{2}x = 1 - 2sin^{2}x$
$sin2x = 2sinxcosx$
e quindi ottieni
$sin3x = sin(x + 2x) = sinxcos2x+cosxsin2x = sinx(1- 2sin^{2}x) + cosx(2sinxcosx)$
e quindi, sistemando l'espressione
$sin3x = sinx - 2sin^{3}x + 2 sinxcos^{2}x $
inserendo quindi nell'integrale ottieni:
$int(sinx - 2sin^{3}x + 2 sinxcos^{2}x)sinxdx$
e moltiplicando ottieni
$int(sin^{2}x - 2sin^{4}x + 2 sin^{2}xcos^{2}x)dx$
che risolvi separando le varie parti ed integrandole singolarmente.
EDIT: Sistemato errore di copiatura dal foglio
Aaaaah ecco! Grazie
Solo una cosa, dopo che hai scritto "sistemando l'espressione" hai scritto:
sin3x = sinx - 2sin^2x +2sinxcos^2x
ma il secondo addendo non dovrebbe essere -sin^3x??? perchè moltiplichi sinx per 1 e dopo sinx per -sin^x
Solo una cosa, dopo che hai scritto "sistemando l'espressione" hai scritto:
sin3x = sinx - 2sin^2x +2sinxcos^2x
ma il secondo addendo non dovrebbe essere -sin^3x??? perchè moltiplichi sinx per 1 e dopo sinx per -sin^x
"TeM":
In realtà, in casi come questo, la via più rapida sono le note (?) formule di Werner.
In particolare, grazie alla quarta formula di Werner, si ha
\[ \sin(3x)\,\sin x = \frac{\cos(3x - x) - \cos(3x + x)}{2} = \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x) \; . \] Così facendo quell'integrale diventa davvero banale.
Ottima osservazione, purtroppo però dubito che riuscirò a ricordarle, per cui riuscendo a ricavare altre formule penso sia la soluzione migliore!! Grazie però, mi hai dato un'ottimo spunto!!
"TeM":
In realtà, in casi come questo, la via più rapida sono le note (?) formule di Werner.
In particolare, grazie alla quarta formula di Werner, si ha
\[ \sin(3x)\,\sin x = \frac{\cos(3x - x) - \cos(3x + x)}{2} = \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x) \; . \] Così facendo quell'integrale diventa davvero banale.
Hai ragione, mi ero dimenticato delle formule di Werner. Mi è subito venuto in mente di spezzare il seno con le formule di triplicazione
"Pellegrini":
Aaaaah ecco! Grazie
Solo una cosa, dopo che hai scritto "sistemando l'espressione" hai scritto:
sin3x = sinx - 2sin^2x +2sinxcos^2x
ma il secondo addendo non dovrebbe essere -sin^3x??? perchè moltiplichi sinx per 1 e dopo sinx per -sin^x
No, è $-2sin^{3}x$, ho perso anche il per due nel passaggio prima, ora sistemo.
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