Integrale con ricorrenza

[ggiiuulliio]

ciao a tutti sono nuovo del forum e spero di aver postato bene e nel posto giusto. Sto cercando di risolvere questo esercizio del quale so già la soluzione:
dato $$ I_m=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^m(x) \; \text{d}x $$
ricavare la formula di ricorrenza $$ I_m=I_{m-2}-\frac{1}{m-1}I_m $$
la prima parte è abbastanza chiara, in quanto
$$I_m=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{m-2}(x) (1-\sin^2(x)) \; dx=I_{m-2}+\frac{1}{m-1}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x) \; \text{d}(\cos^{m-1}(x)) $$
A questo punto bisognerebbe verificare che
$$-\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x) \; \text{d}(\cos^{m-1}(x))= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^m(x) \; \text{d}x=I_m
$$
Avete qualche suggerimento?
grazie

[Quinzio]

Bisogna integrare per parti:

$-\int_(-\pi/2)^(\pi/2) sin^2xcos^(m-2)x\ dx $
$= 1/(m-1)sinxcos^(m-1)x |_(-\pi/2)^(\pi/2) -\int_(-\pi/2)^(\pi/2) 1/(m-1)cos^m x\ dx $
Il primo termine vale zero, e rimane...
$= -\int_(-\pi/2)^(\pi/2) 1/(m-1)cos^m x\ dx $
$= -1/(m-1)I_m$

[ggiiuulliio]

Grazie mille! E dire che avevo integrato per parti senza però sostituire gli estremi di integrazione. Che pollo!
Grazie ancora