Integrale con residuo 2

[guybrush1989]

Buonasera, devo risolvere questo integrale:
$int_{+ delta T} dz/(1-e^(1/z)); T={1/10<=|z|<=1/5}
L'unica singolarità che ho riscontrato è uno z=0, che però non appartiene al suddetto dominio.
Ho provato, comunque, a fare un cambiamento di variabile, ponendo $w=1/z$, ottenendo

$-int_{+ delta D} (dw)/(1-e^w)w^2; D={5<=|w|<=10}
ottenendo, così facendo, w=0 polo d'ordine 2, che (naturalmente) continua a non appartenere al dominio D.

Sinceramente, non so come procedere dopo (sempre che il discorso di cambiamento di variabile sia lecito, naturalmente).

[gugo82]

Cosa dice il teorema dei residui?
In particolare, se le singolarità cadono in punti esterni al dominio cosa succede?

[guybrush1989]

non vorrei dire cretinate, però da come ricordo io solitamente le singolarità che cadono al di fuori della circonferenza chiusa vengono ignorate, a meno che all'interno della circonferenza stessa non vi siano un numero elevato di singolarità; in tal caso si adopera il residuo all'infinito e, una volta ricavato, si sa che la somma dei residui "finiti" e di quello all'infinito fa zero, e quindi si ricava la sommatoria delle finite.

[guybrush1989]

"guybrush1989":non vorrei dire cretinate, però da come ricordo io solitamente le singolarità che cadono al di fuori della circonferenza chiusa vengono ignorate, a meno che all'interno della circonferenza stessa non vi siano un numero elevato di singolarità; in tal caso si adopera il residuo all'infinito e, una volta ricavato, si sa che la somma dei residui "finiti" e di quello all'infinito fa zero, e quindi si ricava la sommatoria delle finite.

Nada?

[laurettas2]

se la singolarità non appartiene al dominio non puoi calcolare il residuo. Sei sicuro che non sia $|z|>1/10 oppure|z|<1/5$ ?
se così fosse potresti risolverlo infatti
se cerchi gli zeri della funzione,ovvero $1-e^1/z=0$
ottieni $1/z=0$ allora $z=+oo
è un polo di ordine 1 dell'esponente,ma non si tratta nè di una singolarità eliminabile nè di un polo per la funzione e quindi è una singolarità essenziale e il suo residuo lo trovi facendo $1/(2pii) per l'integrale della funzione valutata in zero su un circuito chiuso prendendo la retta 1/5 e chiudendola con una semicirconferenza da -R a R e poi facendo il limite per R-->+oo....lemma del grande cerchio....
non vorrei però dire cavolate....prendi tutto con le pinze!!

[pater46]

"gugo82":Cosa dice il teorema dei residui?
In particolare, se le singolarità cadono in punti esterni al dominio cosa succede?

Non ti seguo gugo. Tecnicamente, essendo la nostra $f$ olomorfa nel nostro dominio $\Omega$, per Goursat non dovrebbe essere:

$int_{del\Omega} f(z)dz = 0$

?

[gugo82]

"pater46":[quote="gugo82"]Cosa dice il teorema dei residui?
In particolare, se le singolarità cadono in punti esterni al dominio cosa succede?

Non ti seguo gugo. Tecnicamente, essendo la nostra $f$ olomorfa nel nostro dominio $\Omega$, per Goursat non dovrebbe essere:

$int_{del\Omega} f(z)dz = 0$?[/quote]
Esatto.

Questo è il primo teorema dei residui:

[tex]$\int_{+\partial D} f(z)\ \text{d} z =2\pi \imath\ \sum_{\zeta \in D,\ \text{$\zeta$ singolarità di $f$}} \text{Res} (f;\zeta)$[/tex]

e nel caso in esame nessun punto singolare [tex]$\zeta$[/tex] di [tex]$f$[/tex] sta "dentro" al dominio [tex]$D$[/tex] delimitato dal contorno [tex]$\Gamma =\partial D$[/tex], ergo l'integrale è nullo.

Ma non c'è nemmeno bisogno di invocare il teorema dei residui per risolvere: infatti l'integrale è nullo per il teorema integrale di Cauchy.

[pater46]

Non sapevo fosse noto anche sotto quel nome ( che a quanto pare è quello più usato ), a me l'hanno presentato come teorema di Cauchy-Goursat

[guybrush1989]

grazie mille a tutti per la spiegazione